Considere
e a curva
.
c) Calcule
usando a regra da cadeia.
c) Calcule
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de duas variáveis,
, e uma curva parametrizada por
. O objetivo é calcular a derivada de
, onde
, usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar conhecer a regra da cadeia para funções de várias variáveis e como aplicar derivadas compostas.
Passo 2
Vamos definir
como a composição das funções
e
. Ou seja:
Passo 3
Agora, para encontrar
, usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A regra da cadeia nos diz que a derivada de
em relação a
é:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais e derivadas em relação a
:
- Derivadas parciais de
:
- Derivadas de
e :
Passo 4
Substituímos agora as funções
e
nas derivadas parciais:
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia, temos:
Simplificando:
Resposta
A derivada de
é:
Exercícios relacionados
Sabe-se que
e
, onde
e
são vetores unitários com mesma direção e sentido de
e
, respectivamente. Encontre
.
Um circuito elétrico é descrito pelo sistema de equações diferenciais.
Determine a solução do sistema onde
é a corrente através do indutor,
é a queda de voltagem através do capacitor e
é a corrente fornecida pela fonte externa.
Encontre o domínio das seguintes funções:
(d) .
(d)
Um circuito elétrico é descrito pelo sistema de equações diferenciais.
Classifique o ponto crítico
em relação ao tipo e determine se é estável, assintoticamente estável e instável