Considere f(x, y) = x^2 + y^2 e a curva (x(t), y(t)) = (e^t, cos(t)).
c) Calcule g'(t) usando a regra da cadeia.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, , e uma curva parametrizada por . O objetivo é calcular a derivada de , onde , usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar conhecer a regra da cadeia para funções de várias variáveis e como aplicar derivadas compostas.

Passo 2

Vamos definir como a composição das funções e . Ou seja:

Passo 3

Agora, para encontrar , usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A regra da cadeia nos diz que a derivada de em relação a é:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais e derivadas em relação a :
  1. Derivadas parciais de :
  1. Derivadas de e :

Passo 4

Substituímos agora as funções e nas derivadas parciais:

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, temos:
Simplificando:

Resposta

A derivada de é:

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