Um circuito elétrico RLC série é composto por uma resistência R, uma indutância L e um capacitor C conectados em série. A corrente i(t) no circuito é descrita pela seguinte equação diferencial: L * i’’(t) + R * i’(t) + (1/C) * i(t) = V(t) onde V(t) = 12*cos(3t) V é a tensão aplicada ao circuito, R = 4 Ω, L = 2 H e C = 0.01 F. O circuito tem as seguintes condições iniciais: i(0) = 0 e i’(0) = 0. Usando a Transformada de Laplace para resolver a equação diferencial, qual é a expressão correta para a corrente no domínio da frequência, I(s)?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um circuito elétrico RLC em série com resistência $ R = 4, \Omega $, indutância $ L = 2, H $ e capacitância $ C = 0,01, F $. A corrente $ i(t) $ no circuito é regida pela equação diferencial:
R = 4, Omega
Onde a tensão aplicada é $ V(t) = 12 \cos(3t) $ V, e as condições iniciais são $ i(0) = 0 $ e $ i’(0) = 0 $. Nosso objetivo é encontrar a expressão da corrente no domínio da frequência, $ I(s) $, usando a Transformada de Laplace. Para isso, vamos precisar saber como aplicar a Transformada de Laplace em equações diferenciais e manipular as expressões para isolar $ I(s) $.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Li'(t) = sI(s) - i(0)
Li''(t) = s^2 I(s) - s i(0) - i'(0)
Como as condições iniciais são $ i(0) = 0 $ e $ i’(0) = 0 $, essas expressões simplificam para:
i(0) = 0
i'(0) = 0
Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial:
Li'(t) = sI(s)

Passo 3

Agora, precisamos calcular a Transformada de Laplace de $ V(t) = 12 \cos(3t) $. Sabemos que:
V(t) = 12 cos(3t)
Então,
Lcos(at) = ss^2 + a^2
Substituindo de volta na equação:
L12 cos(3t) = 12 cdot ss^2 + 9

Passo 4

Vamos agora fatorar $ I(s) $ à esquerda:
I(s)
Substituindo os valores de $ L $, $ R $ e $ C $:
I(s) ( L s^2 + R s + 1C ) = 12 cdot ss^2 + 9

Passo 5

Para isolar $ I(s) $, dividimos ambos os lados pela expressão que está multiplicando $ I(s) $:
I(s)
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por 1:
I(s)

Resposta

A expressão correta para a corrente no domínio da frequência é:
I(s) = 12, s(s^2 + 9)(2, s^2 + 4, s + 100)

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