Um circuito elétrico RLC série é composto por uma resistência R, uma indutância L e um capacitor C conectados em série. A corrente i(t) no circuito é descrita pela seguinte equação diferencial: L * i’’(t) + R * i’(t) + (1/C) * i(t) = V(t) onde V(t) = 12*cos(3t) V é a tensão aplicada ao circuito, R = 4 Ω, L = 2 H e C = 0.01 F. O circuito tem as seguintes condições iniciais: i(0) = 0 e i’(0) = 0. Usando a Transformada de Laplace para resolver a equação diferencial, qual é a expressão correta para a corrente no domínio da frequência, I(s)?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um circuito elétrico RLC em série com resistência $ R = 4, \Omega $, indutância $ L = 2, H $ e capacitância $ C = 0,01, F $. A corrente $ i(t) $ no circuito é regida pela equação diferencial:
Onde a tensão aplicada é $ V(t) = 12 \cos(3t) $ V, e as condições iniciais são $ i(0) = 0 $ e $ i’(0) = 0 $. Nosso objetivo é encontrar a expressão da corrente no domínio da frequência, $ I(s) $, usando a Transformada de Laplace. Para isso, vamos precisar saber como aplicar a Transformada de Laplace em equações diferenciais e manipular as expressões para isolar $ I(s) $.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Como as condições iniciais são $ i(0) = 0 $ e $ i’(0) = 0 $, essas expressões simplificam para:
Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a Transformada de Laplace de $ V(t) = 12 \cos(3t) $. Sabemos que:
Então,
Substituindo de volta na equação:
Passo 4
Vamos agora fatorar $ I(s) $ à esquerda:
Substituindo os valores de $ L $, $ R $ e $ C $:
Passo 5
Para isolar $ I(s) $, dividimos ambos os lados pela expressão que está multiplicando $ I(s) $:
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por 1:
Resposta
A expressão correta para a corrente no domínio da frequência é: