O circuito ao lado é composto de duas fontes com varepsilon1=10 V e varepsilon2=4 V. Os resistores possuem os valores R1=150 K Omega, R2=10 K Omega e R3=100 K Omega. Utilize as leis de Kirchhoff, determine as correntes I1, I2 e I3.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um circuito com duas fontes de tensão: uma de 10 V ( varepsilon1=10 V) e outra de 4 V ( varepsilon2=4 V). Além disso, temos três resistores com resistências de 150 kΩ ( R1=150 K Omega), 10 kΩ ( R2=10 K Omega) e 100 kΩ ( R3=100 K Omega). O objetivo aqui é encontrar as correntes I1, I2 e I3 que circulam pelo circuito usando as Leis de Kirchhoff. Para isso, iremos aplicar tanto a Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK) quanto a Lei das Tensões de Kirchhoff (LTK).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as Leis de Kirchhoff:
  1. Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK): Em qualquer nó (ponto de conexão) de um circuito, a soma das correntes que entram é igual à soma das correntes que saem. Isso nos ajuda a relacionar as diferentes correntes no circuito.
  2. Lei das Tensões de Kirchhoff (LTK): Em qualquer malha fechada de um circuito, a soma algébrica das diferenças de potencial elétrico (tensões) é igual a zero. Isso significa que, ao percorrer um caminho completo no circuito, a quantidade de energia fornecida pelas fontes de tensão é igual à energia dissipada pelos resistores.

Passo 3

Vamos identificar os nós e as malhas do circuito para aplicar essas leis. Supondo que o circuito tenha duas malhas, podemos atribuir correntes de malha diferentes a cada uma delas. Vamos chamar essas correntes de I1 e I2. A corrente I3 será a corrente que passa pelo resistor R3 e será relacionada a I1 e I2 pela LCK.

Passo 4

Aplicando a Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK) no nó onde as correntes se encontram, temos:
I1 = I2 + I3
Isso significa que a corrente que entra nesse nó ( I1) é igual à soma das correntes que saem ( I2 e I3).

Passo 5

Agora, vamos aplicar a Lei das Tensões de Kirchhoff (LTK) em cada uma das malhas do circuito.
Malha 1:
Percorrendo a malha que inclui a fonte varepsilon1, o resistor R1 e o resistor R3, temos:
varepsilon1 - I1 R1 - I3 R3 = 0
Malha 2:
Percorrendo a malha que inclui a fonte varepsilon2, o resistor R2 e o resistor R3, temos:
varepsilon2 - I2 R2 - I3 R3 = 0

Passo 6

Agora, temos um sistema de três equações:
  1. $ I_{1} = I_{2} + I_{3} $
  2. $ 10 - 150 \times 10^{3} \cdot I_{1} - 100 \times 10^{3} \cdot I_{3} = 0 $
  3. $ 4 - 10 \times 10^{3} \cdot I_{2} - 100 \times 10^{3} \cdot I_{3} = 0 $
Vamos simplificar as equações substituindo os valores das resistências:
  1. $ I_{1} = I_{2} + I_{3} $
  2. $ 10 - 150000 I_{1} - 100000 I_{3} = 0 $
  3. $ 4 - 10000 I_{2} - 100000 I_{3} = 0 $

Passo 7

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da equação 1, podemos expressar $ I_{1} $ em termos de $ I_{2} $ e $ I_{3} $:
I1
Agora, substituímos $ I_{1} $ na equação 2:
I2
I3
I1 = I2 + I3
I1 \quad (Equação 4)
Já na equação 3:
10 - 150000 (I2 + I3) - 100000 I3 = 0
10 - 150000 I2 - 150000 I3 - 100000 I3 = 0 \quad (Equação 5)

Passo 8

Agora, vamos resolver as Equações 4 e 5 para encontrar $ I_{2} $ e $ I_{3} $.
Primeiro, simplificamos a Equação 4 dividindo todos os termos por 10:
I2 \quad (Equação 4 Simplificada)
E simplificamos a Equação 5 dividindo todos os termos por 1000:
I3 \quad (Equação 5 Simplificada)
Agora, podemos multiplicar a Equação 5 Simplificada por 1500 para facilitar a eliminação:
15000 I2 + 25000 I3 = 1
Agora, temos:
  • Equação 4 Simplificada: $ 15000 I_{2} + 25000 I_{3} = 1 $
  • Equação 5 Multiplicada: $ 15000 I_{2} + 150000 I_{3} = 6 \times 10^{-3} $
Subtraindo a Equação 4 da Equação 5 Multiplicada:
10 I2 + 100 I3 = 0.004
15000 I2 + 150000 I3 = 6 times 10^-3
15000 I2 + 25000 I3 = 1
15000 I2 + 150000 I3 = 6 times 10^-3

Passo 9

Agora que temos $ I_{3} $, vamos substituir esse valor na Equação 5 Simplificada para encontrar $ I_{2} $:
I3
I2
10 I2 + 100 times (-7.952 times 10^-6) = 0.004
10 I2 - 0.0007952 = 0.004
10 I2 = 0.004 + 0.0007952
10 I2 = 0.0047952

Passo 10

Finalmente, usando a relação $ I_{1} = I_{2} + I_{3} $, encontramos $ I_{1} $:
I1 = I2 + I3
I1

Resposta

As correntes no circuito são aproximadamente:
  • $ I_{1} \approx 0,4716 , mA $
  • $ I_{2} \approx 0,4795 , mA $
  • $ I_{3} \approx -7,952 , \muA $

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