Um líquido menos denso, com densidade rho1, flutua sobre um líquido mais denso, com densidade rho2. Um cilindro uniforme de comprimento L e densidade rho, com rho1, flutua na interface com seu eixo longo na vertical. Que fração do comprimento está imersa no líquido mais denso?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre dois líquidos empilhados, onde o líquido de cima é menos denso (com densidade rho1) e o de baixo é mais denso (com densidade rho2). Temos um cilindro uniforme com comprimento L e densidade rho, onde rho1 < rho < rho2, que está flutuando na interface entre os dois líquidos, posicionado verticalmente. A pergunta é: qual fração do comprimento do cilindro está imersa no líquido mais denso?
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de equilíbrio de flutuação, que envolve a Lei de Arquimedes. Essa lei nos diz que a força de empuxo que atua sobre um objeto imerso é igual ao peso do fluido deslocado pelo objeto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o cilindro está posicionado. Como a densidade do cilindro ( rho) está entre as densidades dos dois líquidos ( rho1 < rho < rho2), o cilindro vai ter partes imersas em ambos os líquidos. Nosso objetivo é encontrar a fração do comprimento L que está imersa no líquido mais denso ( rho2).

Passo 3

Vamos chamar de x a fração do comprimento L que está imersa no líquido mais denso. Portanto, o comprimento imerso no líquido menos denso será (1 - x)L.

Passo 4

De acordo com a Lei de Arquimedes, a força de empuxo total que atua sobre o cilindro deve ser igual ao peso do cilindro. Matemáticamente, isso fica:
Empuxo total = Peso do cilindro

Passo 5

Calculando o empuxo total, temos que ele é a soma dos empuxos provenientes de ambos os líquidos:
Empuxo total = rho1 g (1 - x)L A + rho2 g x L A
Onde:
  • g é a aceleração da gravidade,
  • A é a área da base do cilindro.
Mas como A e g aparecem em ambos os lados da equação, podemos simplificar.

Passo 6

O peso do cilindro é dado por:
Peso = rho V g = rho L A g
Onde V é o volume do cilindro.

Passo 7

Igualando o empuxo total ao peso do cilindro:
rho1 g (1 - x)L A + rho2 g x L A = rho L A g
Podemos simplificar g e L A em ambos os lados:
rho1 (1 - x) + rho2 x = rho

Passo 8

Agora, vamos resolver para x:
rho1 - rho1 x + rho2 x = rho (rho2 - rho1) x = rho - rho1 x = rho - rho1rho2 - rho1

Resposta

A fração do comprimento do cilindro que está imersa no líquido mais denso é:
x = rho - rho1rho2 - rho1

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