Um líquido menos denso, com densidade
, flutua sobre um líquido mais denso, com densidade
. Um cilindro uniforme de comprimento L e densidade
, flutua na interface com seu eixo longo na vertical. Que fração do comprimento está imersa no líquido mais denso?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre dois líquidos empilhados, onde o líquido de cima é menos denso (com densidade
) e o de baixo é mais denso (com densidade
). Temos um cilindro uniforme com comprimento
e densidade
, onde
, que está flutuando na interface entre os dois líquidos, posicionado verticalmente. A pergunta é: qual fração do comprimento do cilindro está imersa no líquido mais denso?
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de equilíbrio de flutuação, que envolve a Lei de Arquimedes. Essa lei nos diz que a força de empuxo que atua sobre um objeto imerso é igual ao peso do fluido deslocado pelo objeto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o cilindro está posicionado. Como a densidade do cilindro (
) está entre as densidades dos dois líquidos (
), o cilindro vai ter partes imersas em ambos os líquidos. Nosso objetivo é encontrar a fração do comprimento
que está imersa no líquido mais denso (
).
Passo 3
Vamos chamar de
a fração do comprimento
que está imersa no líquido mais denso. Portanto, o comprimento imerso no líquido menos denso será
.
Passo 4
De acordo com a Lei de Arquimedes, a força de empuxo total que atua sobre o cilindro deve ser igual ao peso do cilindro. Matemáticamente, isso fica:
Passo 5
Calculando o empuxo total, temos que ele é a soma dos empuxos provenientes de ambos os líquidos:
Onde:
-
é a aceleração da gravidade, -
é a área da base do cilindro.
Mas como
e
aparecem em ambos os lados da equação, podemos simplificar.
Passo 6
O peso do cilindro é dado por:
Onde
é o volume do cilindro.
Passo 7
Igualando o empuxo total ao peso do cilindro:
Podemos simplificar
e
em ambos os lados:
Passo 8
Agora, vamos resolver para
:
Resposta
A fração do comprimento do cilindro que está imersa no líquido mais denso é: