Sabe-se que, para o nitrogênio gasoso ( , as constantes de van der Waals são a=1,390 atm L^2 mol^-2 e b=0,03913 L mol^-1. Calcule a pressão a que estará submetida uma amostra de 50,0 g de nitrogênio num recipiente de 0,192 litro a uma temperatura de -109,25^circ C :
a) considerando comportamento de gás ideal
b) considerando comportamento de gás de van der Waals.
c) Usando o diagrama reduzido de compressibilidade, considerando TC=-147^circ Ce PC=33,94 atm.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma amostra de 50,0 g de nitrogênio gasoso (N2) dentro de um recipiente de 0,192 litros a uma temperatura de -109,25^circ C. Precisamos calcular a pressão que essa amostra exerce no recipiente em três situações diferentes:
a) Considerando o comportamento de gás ideal.
b) Considerando o comportamento do gás segundo a equação de van der Waals.
c) Usando o diagrama reduzido de compressibilidade.
Para resolver isso, vamos precisar usar algumas fórmulas da termodinâmica e entender um pouquinho sobre o comportamento dos gases.
a) Considerando comportamento de gás ideal
Passo 2
Primeiro, vamos considerar que o nitrogênio se comporta como um gás ideal. A equação para isso é a Lei dos Gases Ideais, que é:
PV = nRT
Onde:
P é a pressão
V é o volume
n é a quantidade de substância (em mols)
R é a constante dos gases ideais (0,0821 atm cdot L cdot mol^-1 cdot K^-1)
T é a temperatura em Kelvin
Passo 3
Vamos calcular cada uma dessas variáveis:
Converter a temperatura de Celsius para Kelvin:
T(K) = T(^circ C) + 273,15 = -109,25 + 273,15 = 163,9 K
Calcular a quantidade de mols (n):
Sabemos que a massa molar do nitrogênio (M) é 28,0 g/mol.
n = massaM = 50,0 g28,0 g/mol approx 1,7857 mol
Passo 4
Agora, vamos reorganizar a equação dos gases ideais para encontrar a pressão P:
P = nRTV
Substituindo os valores:
P = 1,7857 mol times 0,0821 atm cdot L cdot mol^-1 cdot K^-1 times 163,9 K0,192 L
Passo 5
Vamos calcular passo a passo:
Multiplicando n, R e T:
1,7857 times 0,0821 times 163,9 approx 24,000 atm cdot L
Dividindo pelo volume V:
P = 24,0000,192 approx 125,0 atm
Passo 6
Agora, vamos para a parte b), onde consideramos o comportamento real do gás usando a equação de van der Waals. Essa equação ajusta a Lei dos Gases Ideais para levar em conta o volume ocupado pelas moléculas e as forças de atração entre elas.
A equação de van der Waals é:
(P + a n^2V^2)(V - n b) = n R T
Onde:
a e b são constantes específicas para cada gás (dadas no problema: a=1,390 atm cdot L^2 cdot mol^-2, b=0,03913 L cdot mol^-1)
Passo 7
Vamos reorganizar a equação para encontrar P:
P = n R TV - n b - a n^2V^2
Substituindo os valores que já temos:
n = 1,7857 mol
R = 0,0821 atm cdot L cdot mol^-1 cdot K^-1
T = 163,9 K
V = 0,192 L
a = 1,390 atm cdot L^2 cdot mol^-2
b = 0,03913 L cdot mol^-1
Passo 8
Vamos calcular cada parte:
Primeira parte da equação:
n R TV - n b = 1,7857 times 0,0821 times 163,90,192 - 1,7857 times 0,03913
Calculando o denominador:
0,192 - 1,7857 times 0,03913 approx 0,192 - 0,0698 approx 0,1222 L
Agora, a fração:
1,7857 times 0,0821 times 163,90,1222 approx 24,0000,1222 approx 196,3 atm
Segunda parte da equação:
a n^2V^2 = 1,390 times (1,7857)^2(0,192)^2
Calculando:
1,390 times 3,189 approx 4,431
(0,192)^2 = 0,036864
Então:
4,4310,036864 approx 120,0 atm
Passo 9
Agora, subtraímos a segunda parte da primeira:
P = 196,3 atm - 120,0 atm = 76,3 atm
Passo 10
Por último, vamos resolver a parte c) usando o diagrama reduzido de compressibilidade. Essa abordagem utiliza as propriedades críticas do gás para determinar a compressibilidade, que nos ajuda a ajustar a pressão real do gás.
As propriedades críticas do nitrogênio são dadas:
TC = -147^circ C
PC = 33,94 atm
Passo 11
Primeiro, precisamos calcular os parâmetros reduzidos de temperatura e pressão:
Tr = TTC
Pr = PPC
Onde:
T é a temperatura absoluta (Já convertida para Kelvin)
TC é a temperatura crítica (também em Kelvin)
P é a pressão calculada anteriormente
PC é a pressão crítica
Passo 12
Vamos converter TC para Kelvin:
TC = -147^circ C + 273,15 = 126,15 K
Agora, calculamos Tr:
Tr = 163,9126,15 approx 1,298
Passo 13
Usando o diagrama de compressibilidade, normalmente temos uma tabela ou gráfico que relaciona Z (fator de compressibilidade) com Tr e Pr. Supondo que o diagrama nos dá um valor de Z correspondente aos nossos Tr e Pr, podemos usar a relação:
Z = P Vn R T
Rearranjando para encontrar P:
P = Z n R TV
Passo 14
Sem o diagrama específico, não podemos determinar exatamente o valor de Z. Porém, para fins de exemplo, vamos supor que, a partir do diagrama, obtemos Z = 0,85.
Então:
P = 0,85 times 1,7857 times 0,0821 times 163,90,192
Calculando:
P approx 0,85 times 24,0000,192 approx 20,4000,192 approx 106,25 atm
Resposta
A pressão exercida pela amostra de nitrogênio, usando o diagrama reduzido de compressibilidade, é aproximadamente 106,25 atm.
Resumo
a) Gás Ideal: 125,0 atm
b) Equação de van der Waals: 76,3 atm
c) Diagrama reduzido de compressibilidade: 106,25 atm