Sendo
, dado que
.
Derive a primeira igualdade e encontre
.
Derive a primeira igualdade e encontre
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá que
e que
. Nosso objetivo é derivar essa primeira igualdade e encontrar
. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, especificamente a derivação de funções inversas e a derivada da tangente hiperbólica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é a função inversa da tangente hiperbólica. Ou seja, se
, então
. Isso significa que estamos lidando com funções inversas, e para derivar
em relação a
, podemos usar a regra da derivada de funções inversas.
Passo 3
A regra da derivada de funções inversas nos diz que se
, então
. No nosso caso,
, então precisamos encontrar a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Vamos derivar
em relação a
. Sabemos que a derivada da tangente hiperbólica é:
Então,
, já que
.
Passo 5
Agora, aplicando a regra da derivada de funções inversas:
Portanto, encontramos a derivada que nos foi pedida.
Resposta
A derivada de
em relação a
é: