Sendo tgh(y) = x, dado que y = tgh^(-1)(x).
Derive a primeira igualdade e encontre d/y d/x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá que e que . Nosso objetivo é derivar essa primeira igualdade e encontrar . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, especificamente a derivação de funções inversas e a derivada da tangente hiperbólica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é a função inversa da tangente hiperbólica. Ou seja, se , então . Isso significa que estamos lidando com funções inversas, e para derivar y em relação a x, podemos usar a regra da derivada de funções inversas.

Passo 3

A regra da derivada de funções inversas nos diz que se , então . No nosso caso, , então precisamos encontrar a derivada de em relação a y.

Passo 4

Vamos derivar em relação a y. Sabemos que a derivada da tangente hiperbólica é:
Então, , já que .

Passo 5

Agora, aplicando a regra da derivada de funções inversas:
Portanto, encontramos a derivada que nos foi pedida.

Resposta

A derivada de y em relação a x é:

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