A uma mola de constante elástica é atada uma massa de 1 kg . A massa sofre ação de uma força externa de . Se a massa é colocada em movimento de sua posição de equilíbrio e com velocidade inicial zero, determine:
b) qual é a solução do problema de valor inicial para ;
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma mola com constante elástica de e uma massa de ligada a ela. Além disso, essa massa está sofrendo a ação de uma força externa que varia com o tempo, dada por . A massa é solta da posição de equilíbrio com velocidade inicial zero. O que precisamos encontrar é a solução do problema de valor inicial para quando . Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica vibratória e equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação diferencial que descreve o movimento da massa. A segunda lei de Newton nos diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração:
Onde:
é a massa,
é a constante da mola,
é a força externa,
é o deslocamento da massa em função do tempo.
Substituindo os valores, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver esta equação diferencial de segunda ordem. Ela é do tipo equação diferencial linear não homogênea, onde o lado direito não é zero devido à força externa. A solução geral será a soma da solução da equação homogênea (sem a força externa) e uma solução particular.
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
A equação característica associada é:
As raízes são:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular () para a equação completa:
Assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde e são constantes a serem encontradas. Vamos derivar duas vezes:
Substituindo e suas derivadas na equação diferencial:
Agrupando os termos:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de e devem ser iguais:
Como , sabemos que . Portanto:
Então, a solução particular é:
Passo 5
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .