Em um circuito RLC em série oscilante, determine o tempo necessário para que a energia máxima presente no capacitor durante uma oscilação diminua para
do valor inicial. Suponha que
em
e além disso
e
.
A)
B)
C)
D)
A)
B)
C)
D)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um circuito RLC em série que está oscilando. A pergunta é: quanto tempo leva para a energia máxima armazenada no capacitor diminuir para $ \frac{2}{3} $ do valor inicial? Para resolver isso, vamos precisar entender como a energia decai em um circuito RLC e utilizar as fórmulas específicas para esse tipo de circuito. Vamos usar os valores dados de indutância $ L = 10 , mH $ e resistência $ R = 10 , \Omega $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia armazenada no capacitor em um circuito RLC é dada por:
onde $ C $ é a capacitância e $ V $ é a tensão. No entanto, como a energia está diminuindo com o tempo devido à resistência $ R $, precisamos entender como essa diminuição ocorre.
Passo 3
Em um circuito RLC, a energia decai exponencialmente com o tempo devido à resistência. A fórmula geral para a energia no capacitor ao longo do tempo é:
onde $ U_0 $ é a energia inicial, $ R $ é a resistência, $ L $ é a indutância e $ t $ é o tempo.
Passo 4
Queremos encontrar o tempo $ t $ em que $ U(t) = \frac{2}{3} U_0 $. Vamos substituir esses valores na equação:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ U_0 $:
Passo 5
Agora, para resolver para $ t $, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por $ -1 $ para isolar $ t $:
Isso pode ser reescrito como:
Resposta
A resposta correta é a opção C) $ t = \frac{L}{R} \ln \left(\frac{3}{2}\right) $.