Em um circuito RLC em série oscilante, determine o tempo necessário para que a energia máxima presente no capacitor durante uma oscilação diminua para 2 / 3 do valor inicial. Suponha que q=Q em t=0 e além disso L=10 mH e R=10 Omega.
A) t=LR ln (23)
B) t=2 LR ln (32)
C) t=LR ln (32)
D) t=LR ln (3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um circuito RLC em série que está oscilando. A pergunta é: quanto tempo leva para a energia máxima armazenada no capacitor diminuir para $ \frac{2}{3} $ do valor inicial? Para resolver isso, vamos precisar entender como a energia decai em um circuito RLC e utilizar as fórmulas específicas para esse tipo de circuito. Vamos usar os valores dados de indutância $ L = 10 , mH $ e resistência $ R = 10 , \Omega $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia armazenada no capacitor em um circuito RLC é dada por:
U = 12 C V^2
onde $ C $ é a capacitância e $ V $ é a tensão. No entanto, como a energia está diminuindo com o tempo devido à resistência $ R $, precisamos entender como essa diminuição ocorre.

Passo 3

Em um circuito RLC, a energia decai exponencialmente com o tempo devido à resistência. A fórmula geral para a energia no capacitor ao longo do tempo é:
U(t) = U0 cdot e^-RL t
onde $ U_0 $ é a energia inicial, $ R $ é a resistência, $ L $ é a indutância e $ t $ é o tempo.

Passo 4

Queremos encontrar o tempo $ t $ em que $ U(t) = \frac{2}{3} U_0 $. Vamos substituir esses valores na equação:
t
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ U_0 $:
U(t) = 23 U0

Passo 5

Agora, para resolver para $ t $, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados:
t
Multiplicando ambos os lados por $ -1 $ para isolar $ t $:
ln(23) = -RL t
Isso pode ser reescrito como:
-1

Resposta

A resposta correta é a opção C) $ t = \frac{L}{R} \ln \left(\frac{3}{2}\right) $.

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