Considere o motor de indução com os seguintes dados:
O motor trifásico de indução acima é conectado em Y e opera em regime permanente nominal. A carga é do tipo quadrática
, sendo
para
. A partir do circuito equivalente do motor de indução e para esse ponto de operação:
calcular a corrente de estator (módulo e ângulo);
calcular a corrente de estator (módulo e ângulo);
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. Temos um motor de indução trifásico com certos dados fornecidos, conectado em configuração estrela (Y) e operando em regime permanente nominal. A carga do motor é do tipo quadrática, ou seja, o torque da carga depende do quadrado da velocidade angular. A questão quer que a gente calcule a corrente de estator, tanto o módulo quanto o ângulo, nesse ponto de operação.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos sobre motores de indução, circuito equivalente, e como calcular correntes em sistemas trifásicos. Vamos seguir passo a passo para garantir que tudo fique claro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a configuração em Y (estrela). Em uma ligação em estrela, a tensão de linha (
) e a tensão de fase (
) estão relacionadas pela fórmula:
Isso é importante porque nosso circuito equivalente geralmente é analisado por fase.
Passo 3
Agora, vamos converter a potência do motor de horsepower (hp) para watts, já que geralmente trabalhamos com unidades do SI. A relação é:
Então, a potência do motor é:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a velocidade síncrona do motor. A velocidade síncrona (
) é dada por:
Onde:
- $ f $ é a frequência (60 Hz)
- $ p $ é o número de polos
Mas, temos a velocidade do rotor ($ n_r = 1786 , rpm $). A velocidade síncrona pode ser calculada considerando o deslizamento, mas neste caso, para simplificação, vamos assumir que a velocidade fornecida é suficientemente próxima para nossos cálculos.
Passo 5
Agora, vamos calcular a velocidade angular nominal ($ \omega_{nom} $):
Substituindo $ n = 1786 , rpm $:
Passo 6
Sabemos que o torque da carga é quadrático:
E $ T_L = T_{nom} $ quando $ \omega = \omega_{nom} $. Podemos encontrar $ k $:
Mas para calcular a corrente de estator, precisamos relacionar o torque com a potência. A potência mecânica é:
E a potência elétrica é relacionada à tensão, corrente e fator de potência:
Passo 7
Vamos montar o circuito equivalente por fase do motor de indução. Temos os seguintes componentes:
- Resistência do estator ($ r_1 = 0,029 , \Omega $)
- Reatância do estator ($ X_1 = 0,226 , \Omega $)
- Reatância de magnetização ($ X_m = 13,04 , \Omega $)
- Reatância do rotor referida ao estator ($ X_2 = 0,226 , \Omega $)
- Resistência do rotor referida ao estator ($ r_2 = 0,022 , \Omega $)
O circuito equivalente por fase ficará com $ V_{fase} $ aplicado à série de $ r_1 + jX_1 $ e em paralelo com $ jX_m $, seguido por $ r_2 + jX_2 $.
Passo 8
Vamos calcular $ V_{fase} $:
Passo 9
Agora, precisamos encontrar a impedância total do circuito equivalente. Considerando que estamos em regime permanente nominal, podemos usar a seguinte relação para o circuito:
Onde $ Z_{total} $ é a impedância do estator em paralelo com a impedância de magnetização e depois em série com a impedância refletida do rotor.
Passo 10
Calculando a impedância de magnetização $ Z_m = jX_m = j13,04 , \Omega $.
A impedância do estator mais reatância de estator:
A impedância do rotor refletida:
Passo 11
Agora, combinamos $ Z_1 $ em paralelo com $ Z_m $:
Calculando:
Podemos simplificar considerando que $ j13,04 $ é muito maior que $ Z_1 $, então:
Passo 12
Agora, adicionamos a impedância do rotor:
Passo 13
Com $ Z_{total} $ conhecido, podemos calcular a corrente de estator por fase:
Para resolver isso, vamos calcular o módulo e o ângulo da impedância:
Módulo de $ Z_{total} $:
Ângulo de $ Z_{total} $:
Passo 14
Agora, calculamos o módulo da corrente de estator por fase:
E o ângulo da corrente será o mesmo do ângulo da impedância:
(O sinal negativo indica que a corrente está atrasada em relação à tensão, típico em cargas indutivas.)
Resposta
A corrente de estator tem módulo aproximado de 2925,5 A e um ângulo de -83,7 graus.