Considere o motor de indução com os seguintes dados:
& 2250 hp ; 2300 V ; 1786 rpm ; 60 Hz ; J=63,87 kg cdot m^2 & r1=0,029 Omega ; X1=X2=0,226 Omega ; Xm=13,04 Omega ; r2=0,022 Omega
O motor trifásico de indução acima é conectado em Y e opera em regime permanente nominal. A carga é do tipo quadrática TL=k omega^2 Nm, sendo TL=T nom para omega=omega nom . A partir do circuito equivalente do motor de indução e para esse ponto de operação:
calcular a corrente de estator (módulo e ângulo);

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. Temos um motor de indução trifásico com certos dados fornecidos, conectado em configuração estrela (Y) e operando em regime permanente nominal. A carga do motor é do tipo quadrática, ou seja, o torque da carga depende do quadrado da velocidade angular. A questão quer que a gente calcule a corrente de estator, tanto o módulo quanto o ângulo, nesse ponto de operação.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos sobre motores de indução, circuito equivalente, e como calcular correntes em sistemas trifásicos. Vamos seguir passo a passo para garantir que tudo fique claro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a configuração em Y (estrela). Em uma ligação em estrela, a tensão de linha ( Vlinha) e a tensão de fase ( Vfase) estão relacionadas pela fórmula:
Vfase = Vlinharaiz3
Isso é importante porque nosso circuito equivalente geralmente é analisado por fase.

Passo 3

Agora, vamos converter a potência do motor de horsepower (hp) para watts, já que geralmente trabalhamos com unidades do SI. A relação é:
1 , hp = 746 , W
Então, a potência do motor é:
P = 2250 , hp times 746 , Whp = 1,678,500 , W

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a velocidade síncrona do motor. A velocidade síncrona ( ns) é dada por:
ns = 120 times fp
Onde:
  • $ f $ é a frequência (60 Hz)
  • $ p $ é o número de polos
Mas, temos a velocidade do rotor ($ n_r = 1786 , rpm $). A velocidade síncrona pode ser calculada considerando o deslizamento, mas neste caso, para simplificação, vamos assumir que a velocidade fornecida é suficientemente próxima para nossos cálculos.

Passo 5

Agora, vamos calcular a velocidade angular nominal ($ \omega_{nom} $):
omeganom
Substituindo $ n = 1786 , rpm $:
omeganom = 2pi n60

Passo 6

Sabemos que o torque da carga é quadrático:
TL = k omega^2
E $ T_L = T_{nom} $ quando $ \omega = \omega_{nom} $. Podemos encontrar $ k $:
TL = Tnom
Mas para calcular a corrente de estator, precisamos relacionar o torque com a potência. A potência mecânica é:
omega = omeganom
E a potência elétrica é relacionada à tensão, corrente e fator de potência:
k

Passo 7

Vamos montar o circuito equivalente por fase do motor de indução. Temos os seguintes componentes:
  • Resistência do estator ($ r_1 = 0,029 , \Omega $)
  • Reatância do estator ($ X_1 = 0,226 , \Omega $)
  • Reatância de magnetização ($ X_m = 13,04 , \Omega $)
  • Reatância do rotor referida ao estator ($ X_2 = 0,226 , \Omega $)
  • Resistência do rotor referida ao estator ($ r_2 = 0,022 , \Omega $)
O circuito equivalente por fase ficará com $ V_{fase} $ aplicado à série de $ r_1 + jX_1 $ e em paralelo com $ jX_m $, seguido por $ r_2 + jX_2 $.

Passo 8

Vamos calcular $ V_{fase} $:
Vfase

Passo 9

Agora, precisamos encontrar a impedância total do circuito equivalente. Considerando que estamos em regime permanente nominal, podemos usar a seguinte relação para o circuito:
I1 = VfaseZtotal
Onde $ Z_{total} $ é a impedância do estator em paralelo com a impedância de magnetização e depois em série com a impedância refletida do rotor.

Passo 10

Calculando a impedância de magnetização $ Z_m = jX_m = j13,04 , \Omega $.
A impedância do estator mais reatância de estator:
Zm = jXm = j13,04 , Omega
A impedância do rotor refletida:
Z1 = r1 + jX1 = 0,029 + j0,226 , Omega

Passo 11

Agora, combinamos $ Z_1 $ em paralelo com $ Z_m $:
Z1
Calculando:
Zm
Podemos simplificar considerando que $ j13,04 $ é muito maior que $ Z_1 $, então:
Zparal<=l = Z1 times ZmZ1 + Zm

Passo 12

Agora, adicionamos a impedância do rotor:
Ztotal = Zparal<=l + Z2 = (0,029 + j0,226) + (0,022 + j0,226) = 0,051 + j0,452 , Omega

Passo 13

Com $ Z_{total} $ conhecido, podemos calcular a corrente de estator por fase:
Ztotal
Para resolver isso, vamos calcular o módulo e o ângulo da impedância:
Módulo de $ Z_{total} $:
Ifase = VfaseZtotal = 1328,50,051 + j0,452
Ângulo de $ Z_{total} $:
Ztotal

Passo 14

Agora, calculamos o módulo da corrente de estator por fase:
|Ifase| = 1328,50,454 approx 2925,5 , A
E o ângulo da corrente será o mesmo do ângulo da impedância:
phi = -83,7^circ
(O sinal negativo indica que a corrente está atrasada em relação à tensão, típico em cargas indutivas.)

Resposta

A corrente de estator tem módulo aproximado de 2925,5 A e um ângulo de -83,7 graus.

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