Um circuito RLC série possui uma frequência de ressonância de 6 kHz . Quando o circuito é excitado com uma frequência de 8 kHz possui uma impedância de 1 k Omega e um ângulo de fase de 45^circ. Determine o valor de R, Le C nesse circuito.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está nos pedindo. Temos um circuito RLC série que possui uma frequência de ressonância de 6 kHz. Quando esse circuito é alimentado com uma frequência de 8 kHz, a impedância é de 1 kΩ e o ângulo de fase é de 45 graus. Nosso objetivo é encontrar os valores de R (resistência), L (indutância) e C (capacitância) desse circuito.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de circuitos RLC série, como frequência de ressonância, impedância total e relação entre resistência, indutância e capacitância. Vamos também usar fórmulas matemáticas que envolvem frequências e ângulos de fase.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a frequência de ressonância ( f0 = 12piraizLC ) de um circuito RLC série é dada por:
Essa fórmula relaciona a frequência de ressonância com a indutância e a capacitância . Como conhecemos , podemos usar essa equação mais tarde para relacionar e .

Passo 3

Quando o circuito é alimentado com uma frequência diferente da ressonância, a impedância total ( Z = raizR^2 + ( omega L - 1omega C )^2 ) do circuito é dada por:
tan(phi) = omega L - 1omega CR
Aqui, tan(45^circ) = 1 = omega L - 1omega CR é a frequência angular, que é relacionada à frequência por .
Além disso, o ângulo de fase ( ) entre a tensão e a corrente é dado por:
Sabemos que , então:
Isso nos dá uma relação entre , e .

Passo 4

Vamos calcular a frequência angular para a frequência de 8 kHz:
f = 8 kHz Rightarrow omega = 2pi f = 2pi times 8000 approx 50265.5 rad/s

Passo 5

Sabemos que a impedância 1000 = raizR^2 + ( omega L - 1omega C )^2 . Vamos usar a fórmula da impedância:
1 = omega L - 1omega CR Rightarrow R = omega L - 1omega C
E também sabemos que , então:

Passo 6

Agora, temos duas equações:
  1. 1000 = raizR^2 + R^2 = raiz2R^2 = Rraiz2
  2. Rraiz2 = 1000 Rightarrow R = 1000raiz2 approx 707.1 Ω
Substituindo a segunda equação na primeira:
Então:

Passo 7

Agora que temos 707.1 = 50265.5 L - 150265.5 C , podemos usar a relação f0 = 12piraizLC Rightarrow 6 times 10^3 = 12piraizLC Rightarrow raizLC = 12pi times 6 times 10^3 para encontrar uma relação entre raizLC approx 137699.1 Rightarrow LC approx 7.06 times 10^-9 H·F e :
Vamos lembrar da fórmula da frequência de ressonância:
Calculando:

Passo 8

Temos duas equações agora:
  1. C = 7.06 times 10^-9L
  2. 50265.5 L - 150265.5 times 7.06 times 10^-9L = 707.1
Podemos expressar 50265.5 L - L50265.5 times 7.06 times 10^-9 = 707.1 em termos de L50265.5 times 7.06 times 10^-9 approx L3.55 times 10^-4 approx 28169 L usando a segunda equação:
50265.5 L - 28169 L = 707.1 Rightarrow 22096.5 L = 707.1 Rightarrow L approx 707.122096.5 approx 0.032 H = 32 mH
Substituindo na primeira equação:
Simplificando:
Vamos calcular o segundo termo:
Então a equação fica:

Passo 9

Agora que temos C = 7.06 times 10^-90.032 approx 2.21 times 10^-7 F = 221 nF , podemos encontrar usando :

Resposta

Os valores do circuito são:
  • Resistência
  • Indutância
  • Capacitância

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