Um corpo de 175 g sobre um trilho de ar horizontal, sem atrito, é preso a uma mola fixa ideal de constante 155 N / m. No instante em que você efetua medições sobre o corpo, ele está se movendo a 0,815 m / s e está a 3,0 cm de seu ponto de equilíbrio. Use a conservação da energia para calcular
(a) a amplitude do movimento;

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar. Temos um corpo de 175 g (que é 0,175 kg) sobre um trilho sem atrito conectado a uma mola com constante de mola . No instante em que medimos, o corpo está se movendo a e está a (ou seja, ) do ponto de equilíbrio. A gente precisa usar a conservação da energia para calcular a amplitude do movimento. Vamos precisar entender de energia cinética, energia potencial elástica e como elas se relacionam na conservação da energia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia mecânica total em um sistema conservativo (sem atrito, como nesse caso) permanece constante. No movimento harmônico simples, como o do corpo na mola, a energia mecânica total E = 12 k A^2 é a soma da energia cinética ( ) e da energia potencial elástica ( ).
A fórmula para a energia mecânica total quando o corpo está na amplitude máxima ( ) é:
Aqui, é a amplitude que queremos encontrar.

Passo 3

No instante em que fizemos as medições, o corpo está a uma posição E = 12 k x^2 + 12 m v^2 do equilíbrio e com uma velocidade . A energia mecânica nesse instante é a soma da energia potencial elástica e da energia cinética:
Onde:
  • é a constante da mola,
  • é a posição,
  • é a massa do corpo,
  • é a velocidade.

Passo 4

Como a energia mecânica total é constante, podemos igualar as duas expressões para 12 k A^2 = 12 k x^2 + 12 m v^2 :
k A^2 = k x^2 + m v^2
Agora, vamos eliminar o A^2 = x^2 + m v^2k das duas partes:
E, dividindo tudo por :

Passo 5

Agora, é só resolver para x^2 = (0,03)^2 = 0,0009 , m^2 . Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calculamos v^2 = (0,815)^2 = 0,664225 , m^2/s^2 :
m v^2k = 0,175 times 0,664225155 approx 0,116269375155 approx 0,00075045 , m^2
Depois, calculamos A^2 = 0,0009 + 0,00075045 = 0,00165045 , m^2 :
Então, somamos e :

Passo 6

Para encontrar A = raiz0,00165045 approx 0,04063 , m , tiramos a raiz quadrada de A approx 4,06 , cm :
Convertendo para centímetros:

Resposta

A amplitude do movimento é aproximadamente .

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