Em um dado ponto de um encanamento cilíndrico horizontal, a velocidade da água é igual a 2,50 m / s e a pressão manométrica é igual a 1,80 times 10^4 Pa. Calcule a pressão manométrica em um segundo ponto do encanamento sabendo que o diâmetro do cano no segundo ponto é igual ao dobro do diâmetro do primeiro.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um encanamento cilíndrico horizontal com água fluindo. No primeiro ponto desse encanamento, a velocidade da água é de e a pressão manométrica é de . No segundo ponto, o diâmetro do cano é o dobro do primeiro. Precisamos calcular a pressão manométrica nesse segundo ponto. Para resolver isso, vamos usar dois conceitos principais da física dos fluidos: Equação da Continuidade e Equação de Bernoulli.

Passo 2

Equação da Continuidade nos diz que, para um fluido incompressível, o produto da área da seção transversal do cano pela velocidade do fluido é constante ao longo do encanamento. Matemáticamente, isso é expresso como:
A1 v1 = A2 v2
Onde:
  • e são as áreas das seções transversais no primeiro e segundo pontos, respectivamente.
  • e são as velocidades da água nos pontos 1 e 2, respectivamente.

Passo 3

Sabendo que o diâmetro no segundo ponto é o dobro do primeiro ( A2 = pi (2D12)^2 = pi D1^2 = 4A1 ), podemos relacionar as áreas das seções transversais. A ��rea de um círculo é dada por A1 v1 = 4A1 v2 implies v2 = v14 = 2,50, m/s4 = 0,625, m/s . Assim,
Isso significa que a área no segundo ponto é quatro vezes a do primeiro. Agora, aplicamos a Equação da Continuidade:

Passo 4

Agora que temos a velocidade no segundo ponto ( P1 + 12 rho v1^2 = P2 + 12 rho v2^2 ), vamos usar a Equação de Bernoulli para relacionar as pressões e velocidades nos dois pontos. A equação é:
Onde:
  • e são as pressões nos pontos 1 e 2.
  • é a densidade da água, aproximadamente .

Passo 5

Isolando P2 = P1 + 12 rho (v1^2 - v2^2) na Equação de Bernoulli:
P2 = 1,80 times 10^4, Pa + 12 times 1000, kg/m^3 times ((2,50)^2 - (0,625)^2), m^2/s^2
Substituindo os valores conhecidos:
v1^2 = 6,25, m^2/s^2
Calculando os termos:
v2^2 = 0,390625, m^2/s^2
12 times 1000 times (6,25 - 0,390625) = 500 times 5,859375 = 2929,6875, Pa
P2 = 1,80 times 10^4 + 2929,6875 = 2,0896875 times 10^4, Pa
Somando à pressão inicial:

Resposta

A pressão manométrica no segundo ponto do encanamento é aproximadamente .

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