Um circuito L C R em série. com L=10 mH C=2 mu Fe R=5 Omega, éalimentado por un gerador cuja fem máxima é 100 V e a frequiência angular omega é variável. Achar (a) a freqüência de ressonância omega1 e (b) a I map na ressonância. Quando omega=8000 rad / s, achar (c) Xc e Xl, (d) Ze In n c e também (e) o ângulo de fase de.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um circuito elétrico chamado circuito LCR em série. A gente tem os seguintes componentes:
  • Indutância ( L) = 10 mH
  • Capacitância ( C) = 2 μF
  • Resistência ( R) = 5 Ω
Esse circuito é alimentado por um gerador que tem uma força eletromotriz máxima de 100 V, e a frequência angular ( omega) pode variar. Vamos determinar:
a) A frequência de ressonância ( omega1)
b) A corrente máxima ( Imax) na ressonância
c) Quando omega = 8000 , rad/s, encontrar as reatâncias capacitiva ( Xc) e indutiva ( Xl)
d) A impedância ( Z) e a corrente ( I)
e) O ângulo de fase ( de)

Passo 2

a) Encontrar a frequência de ressonância ( omega1)
Primeiro, vamos entender o que é frequência de ressonância. No circuito LCR, a ressonância ocorre quando a reatância indutiva ( Xl) iguala a reatância capacitiva ( Xc), ou seja, Xl = Xc. Isso faz com que a impedância do circuito seja mínima e a corrente seja máxima.
A fórmula para a frequência de ressonância é:
omega1 = 1raizL C
Vamos substituir os valores:
  • L = 10 , mH = 10 times 10^-3 , H
  • C = 2 , muF = 2 times 10^-6 , F
Calculando:
omega1 = 1raiz10 times 10^-3 times 2 times 10^-6 = 1raiz2 times 10^-8 = 1raiz2 times 10^-4 approx 11.414 times 10^-4 approx 7071 , rad/s

Passo 3

b) Calcular a corrente máxima ( Imax) na ressonância
Na ressonância, a impedância total ( Z) do circuito é igual à resistência ( R), já que Xl = Xc e se cancelam. A corrente máxima ocorre quando a impedância é mínima.
A corrente máxima é dada por:
Imax = VmáxR á
Onde Vmáx = 100 , Vá e R = 5 , Omega.
Calculando:
Imax = 1005 = 20 , A

Passo 4

c) Quando omega = 8000 , rad/s, encontrar as reatâncias capacitiva ( Xc) e indutiva ( Xl)
Reatâncias são as “resistências” que capacitores e indutores oferecem à corrente alternada. São calculadas por:
Xc = 1omega C
Xl = omega L
Vamos substituir os valores:
Para Xc:
Xc = 18000 times 2 times 10^-6 = 10.016 = 62.5 , Omega
Para Xl:
Xl = 8000 times 10 times 10^-3 = 8000 times 0.01 = 80 , Omega

Passo 5

d) Calcular a impedância ( Z) e a corrente ( I) quando omega = 8000 , rad/s
A impedância total ( Z) em um circuito LCR série é dada por:
Z = raizR^2 + (Xl - Xc)^2
Já calculamos Xl = 80 , Omega e Xc = 62.5 , Omega.
Substituindo:
Z = raiz5^2 + (80 - 62.5)^2 = raiz25 + 17.5^2 = raiz25 + 306.25 = raiz331.25 approx 18.2 , Omega
Agora, calculamos a corrente ( I) usando a fórmula da Lei de Ohm:
I = VmáxZ = 10018.2 approx 5.49 , A á

Passo 6

e) Determinar o ângulo de fase ( de)
O ângulo de fase ( de) indica o defasamento entre a tensão e a corrente no circuito. É calculado por:
de
Substituindo os valores:
de

Resposta

a) A frequência de ressonância é aproximadamente 7071 , rad/s.
b) A corrente máxima na ressonância é 20 , A.
c) Quando omega = 8000 , rad/s, Xc = 62.5 , Omega e Xl = 80 , Omega.
d) A impedância Z approx 18.2 , Omega e a corrente I approx 5.49 , A.
e) O ângulo de fase de.

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