Velocidade de propagação da onda versus velocidade de uma partícula. a) Mostre que as equações abaixo são equivalentes.
b) Use
para encontrar uma expressão para a velocidade transversal
de uma partícula da corda onde a onda se propaga. c) Calcule a velocidade máxima de uma partícula da corda. Em que circunstâncias essa velocidade pode ser igual à velocidade
de propagação da onda? Quando ela pode ser menor do que
? E maior do que
?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício sobre ondas e as diferenças entre a velocidade de propagação da onda e a velocidade de uma partícula da corda. A gente vai precisar entender as equações que descrevem as ondas, como elas se relacionam e como calcular as velocidades envolvidas. Vamos por partes!
Passo 2
Parte a) Mostrando que as duas equações são equivalentes.
Temos duas expressões para a posição
de uma partícula na corda em função de
e
:
Vamos comparar os argumentos das funções cosseno para ver se são iguais.
Sabemos que:
-
(onde é a frequência angular e é a frequência) -
(velocidade da onda)
Vamos substituir
e
na primeira equação:
Substituindo na primeira equação:
Que é exatamente a segunda expressão apresentada. Portanto, as duas equações são equivalentes.
Passo 3
Parte b) Encontrando a velocidade transversal
de uma partícula da corda.
A velocidade transversal é a rapidez com que a partícula se move na direção
. Para encontrar
, vamos derivar
em relação ao tempo
.
Começando com a equação equivalente que demonstramos:
Derivando em relação ao tempo:
Simplificando:
Passo 4
Parte c) Calculando a velocidade máxima
de uma partícula da corda e comparando com a velocidade de propagação da onda
.
A velocidade máxima ocorre quando o seno atinge seu valor máximo, que é 1. Então:
Queremos saber quando
,
ou
.
Sabemos que a velocidade da onda
está relacionada com a frequência e o comprimento de onda por
.
Então, para comparar:
- Quando
:
Dividindo ambos os lados por
:
Ou seja, quando o comprimento de onda
for igual a
.
- Quando
:
Simplificando:
Isso acontece quando o comprimento de onda é maior que
vezes a amplitude.
- Quando
:
Simplificando:
Ou seja, quando a amplitude for grande o suficiente em relação ao comprimento de onda.
Resposta
a) As duas equações são equivalentes porque, ao substituir
e
na primeira equação, ela se transforma na segunda.
b) A velocidade transversal de uma partícula é
.
c) A velocidade máxima da partícula é
. Essa velocidade pode ser igual à velocidade de propagação
quando
, menor que
quando
e maior que
quando
.