Velocidade de propagação da onda versus velocidade de uma partícula. a) Mostre que as equações abaixo são equivalentes.
b) Use para encontrar uma expressão para a velocidade transversal de uma partícula da corda onde a onda se propaga. c) Calcule a velocidade máxima de uma partícula da corda. Em que circunstâncias essa velocidade pode ser igual à velocidade de propagação da onda? Quando ela pode ser menor do que ? E maior do que ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício sobre ondas e as diferenças entre a velocidade de propagação da onda e a velocidade de uma partícula da corda. A gente vai precisar entender as equações que descrevem as ondas, como elas se relacionam e como calcular as velocidades envolvidas. Vamos por partes!

Passo 2

Parte a) Mostrando que as duas equações são equivalentes.
Temos duas expressões para a posição de uma partícula na corda em função de e :
Vamos comparar os argumentos das funções cosseno para ver se são iguais.
Sabemos que:
  • (onde é a frequência angular e é a frequência)
  • (velocidade da onda)
Vamos substituir e na primeira equação:
e então
Substituindo na primeira equação:
Que é exatamente a segunda expressão apresentada. Portanto, as duas equações são equivalentes.

Passo 3

Parte b) Encontrando a velocidade transversal de uma partícula da corda.
A velocidade transversal é a rapidez com que a partícula se move na direção . Para encontrar , vamos derivar em relação ao tempo .
Começando com a equação equivalente que demonstramos:
Derivando em relação ao tempo:
Simplificando:

Passo 4

Parte c) Calculando a velocidade máxima de uma partícula da corda e comparando com a velocidade de propagação da onda .
A velocidade máxima ocorre quando o seno atinge seu valor máximo, que é 1. Então:
Queremos saber quando , ou .
Sabemos que a velocidade da onda está relacionada com a frequência e o comprimento de onda por .
Então, para comparar:
  1. Quando :
Dividindo ambos os lados por :
Ou seja, quando o comprimento de onda for igual a .
  1. Quando :
Simplificando:
Isso acontece quando o comprimento de onda é maior que vezes a amplitude.
  1. Quando :
Simplificando:
Ou seja, quando a amplitude for grande o suficiente em relação ao comprimento de onda.

Resposta

a) As duas equações são equivalentes porque, ao substituir e na primeira equação, ela se transforma na segunda.
b) A velocidade transversal de uma partícula é .
c) A velocidade máxima da partícula é . Essa velocidade pode ser igual à velocidade de propagação quando , menor que quando e maior que quando .

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