[Circuitos Elétricos, Nilsson 8^a Edição, 3.19 modificado] Um divisor de tensão deve ser projetado de modo que v0=k v quando vazio (RL infty), e v0=alpha vs, sob carga nominal ( RL=R0 ). Calcule R1 e R2 em função dos parâmetros do problema.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre divisores de tensão, que é um tópico da matéria de Circuitos Elétricos. O objetivo é encontrar os valores das resistências e de um divisor de tensão que atenda a duas condições específicas:
  1. Quando não há carga conectada ( ), a tensão de saída deve ser igual a vezes a tensão de entrada .
  2. Sob carga nominal ( ), a tensão de saída deve ser igual a vezes a tensão da fonte .
Para resolver isso, precisaremos usar as fórmulas básicas de divisores de tensão e considerar o efeito da carga no circuito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o caso sem carga, ou seja, quando v0 = v cdot R2R1 + R2 tende ao infinito ( k v = v cdot R2R1 + R2 ). Nesse caso, a resistência da carga não afeta o circuito, e a tensão de saída k = R2R1 + R2 é simplesmente determinada pelo divisor de tensão formado por e .
A fórmula do divisor de tensão é:
De acordo com a condição dada, . Então, podemos escrever:
Simplificando, obtemos:

Passo 3

Agora, vamos considerar o caso com carga nominal, onde R2eq = R2 cdot RLR2 + RL = R2 cdot R0R2 + R0 . Nesse caso, a resistência v0 = vs cdot R2eqR1 + R2eq = vs cdot R2 cdot R0R2 + R0R1 + R2 cdot R0R2 + R0 = alpha vs e a carga R2 cdot R0R2 + R0 cdot 1R1 + R2 cdot R0R2 + R0 = alpha estão em paralelo. A resistência equivalente desse paralelo é dada por:
A nova tensão de saída é então:
De acordo com a condição dada:

Passo 4

Agora, temos duas equações:
  1. k = R2R1 + R2 implies R1 + R2 = R2k implies R1 = R2k - R2 = R2 ( 1k - 1 )
  2. alpha = R2 cdot R0(R2 + R0)( R2 ( 1k - 1 ) + R2 cdot R0R2 + R0 )
Vamos resolver a primeira equação para R2 = alpha R0k - alpha :
R1 = R2 ( 1k - 1 ) = alpha R0k - alpha ( 1 - kk ) = alpha R0 (1 - k)k (k - alpha)
Agora, substituímos na segunda equação:
Simplificando a expressão para encontrar em função de , e , e então substituindo para encontrar .
Após simplificar as equações, obtemos:
E substituindo em termos de :

Resposta

As resistências R2 = alpha R0k - alpha e R1 = alpha R0 (1 - k)k (k - alpha) são dadas por:

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