Um círculo
de raio
tem seu centro
no primeiro quadrante do plano (
). Determine as condições sobre os números
e
de modo que
:
intersecte os eixos cartesianos em exatamente um ponto;
intersecte os eixos cartesianos em exatamente um ponto;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um círculo $ C $ com raio $ r > 0 $ e centro $ A = (x_0, y_0) $ no primeiro quadrante do plano cartesiano, ou seja, $ x_0 > 0 $ e $ y_0 > 0 $. O objetivo é descobrir quais condições os números $ x_0 $, $ y_0 $ e $ r $ devem satisfazer para que o círculo $ C $ intersecte os eixos cartesianos em exatamente um ponto.
Para resolver isso, vamos precisar entender como um círculo interage com os eixos $ x $ e $ y $. Vamos usar conceitos de distância e tangência na geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação geral de um círculo no plano cartesiano:
Essa equação representa todos os pontos $ (x, y) $ que estão a uma distância $ r $ do centro $ A = (x_0, y_0) $.
Passo 3
Agora, vamos analisar como esse círculo interage com os eixos $ x $ e $ y $.
Interseção com o eixo $ x $:
Para encontrar onde o círculo intercepta o eixo $ x $, fixamos $ y = 0 $ e resolvemos para $ x $:
Interseção com o eixo $ y $:
Para encontrar onde o círculo intercepta o eixo $ y $, fixamos $ x = 0 $ e resolvemos para $ y $:
Passo 4
Para que o círculo intersecte um eixo em exatamente um ponto, o discriminante da equação resultante deve ser zero. Isso significa que a equação tem apenas uma solução real, indicando que o círculo é tangente ao eixo.
Para o eixo $ x $:
Comparando com a equação $ (x - x_0)^2 = r^2 - y_0^2 $, para ter uma única solução, precisamos que:
Para o eixo $ y $:
Analogamente, para o eixo $ y $:
Passo 5
Agora, como queremos que o círculo intersecte os eixos em exatamente um ponto, precisamos que essas condições sejam satisfeitas simultaneamente. Ou seja, o círculo deve ser tangente a ambos os eixos $ x $ e $ y $ ao mesmo tempo.
Portanto, as condições são:
Resposta
As condições necessárias para que o círculo $ C $ intersecte os eixos cartesianos em exatamente um ponto são que o raio $ r $ seja igual a $ x_0 $ e a $ y_0 $. Ou seja: