Mostre que um cilindro deslizará sobre um plano inclinado, cujo ângulo de inclinação é
, quando o coeficiente de atrito estático entre o plano e o cilindro for menor que
.
Passo 1
Então, temos um cilindro que está sobre um plano inclinado com um ângulo de inclinação
. A questão quer que a gente mostre que esse cilindro vai deslizar para baixo quando o coeficiente de atrito estático entre o cilindro e o plano for menor que
. Vamos usar conceitos de física, especificamente de estática e dinâmica, para resolver isso. Precisaremos considerar as forças atuantes no cilindro e como elas interagem para determinar se o cilindro desliza ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam no cilindro. Há três forças principais:
- Peso (
): A força da gravidade que atua para baixo, com módulo , onde é a massa do cilindro e é a aceleração da gravidade. - Força normal (
): A força perpendicular ao plano inclinado que reage ao peso. Ela impede que o cilindro penetre no plano. - Força de atrito estático (
): A força que resiste ao movimento do cilindro para baixo do plano.
Passo 3
Vamos decompor o peso do cilindro em duas componentes:
- Paralela ao plano (
): - Perpendicular ao plano (
):
A força normal (
) é igual à componente perpendicular do peso:
Passo 4
A força de atrito estático máxima que pode atuar no cilindro é dada por:
Onde
é o coeficiente de atrito estático.
Passo 5
Para que o cilindro comece a deslizar, a componente paralela do peso deve ser maior que a força de atrito estático máxima:
Substituindo as expressões:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(assumindo que
e
):
Passo 6
Agora, vamos isolar
:
Até aqui, mostramos que o cilindro desliza se
. Mas a questão pede para mostrar que desliza quando
.
Isso indica que temos mais fatores a considerar, possivelmente relacionados à rotação do cilindro.
Passo 7
Considerando que o cilindro pode rodar enquanto desliza, devemos analisar o momento de força (torque). A condição para rolar sem deslizar envolve o equilíbrio entre a força de atrito e o torque causado pela componente do peso.
Usando as equações de rotação:
Onde
é o raio do cilindro,
é o momento de inércia e
é a aceleração angular.
Para um cilindro sólido,
. E
, onde
é a aceleração linear.
Substituindo:
Passo 8
Agora, usando a segunda lei de Newton para a direção paralela ao plano:
Substituindo
da equação anterior:
Passo 9
Substituindo
de volta na expressão para
:
Agora, lembrando que
, temos:
Simplificando:
Resposta
Portanto, o cilindro deslizará sobre o plano inclinado quando o coeficiente de atrito estático
for menor que
.