Mostre que um cilindro deslizará sobre um plano inclinado, cujo ângulo de inclinação é theta, quando o coeficiente de atrito estático entre o plano e o cilindro for menor que (tan theta) / 3.

Passo 1

Então, temos um cilindro que está sobre um plano inclinado com um ângulo de inclinação theta. A questão quer que a gente mostre que esse cilindro vai deslizar para baixo quando o coeficiente de atrito estático entre o cilindro e o plano for menor que tan theta3. Vamos usar conceitos de física, especificamente de estática e dinâmica, para resolver isso. Precisaremos considerar as forças atuantes no cilindro e como elas interagem para determinar se o cilindro desliza ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam no cilindro. Há três forças principais:
  1. Peso ( P): A força da gravidade que atua para baixo, com módulo P = m cdot g, onde m é a massa do cilindro e g é a aceleração da gravidade.
  2. Força normal ( N): A força perpendicular ao plano inclinado que reage ao peso. Ela impede que o cilindro penetre no plano.
  3. Força de atrito estático ( fs): A força que resiste ao movimento do cilindro para baixo do plano.

Passo 3

Vamos decompor o peso do cilindro em duas componentes:
  • Paralela ao plano ( Pparal<=l): Pparal<=l = m cdot g cdot sin theta
  • Perpendicular ao plano ( Pperp): Pperp = m cdot g cdot cos theta
A força normal ( N) é igual à componente perpendicular do peso:
N = Pperp = m cdot g cdot cos theta

Passo 4

A força de atrito estático máxima que pode atuar no cilindro é dada por:
fsmáx = mus cdot N = mus cdot m cdot g cdot cos theta á
Onde mus é o coeficiente de atrito estático.

Passo 5

Para que o cilindro comece a deslizar, a componente paralela do peso deve ser maior que a força de atrito estático máxima:
Pparal<=l > fsmáx á
Substituindo as expressões:
m cdot g cdot sin theta > mus cdot m cdot g cdot cos theta
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por m cdot g (assumindo que m neq 0 e g neq 0):
sin theta > mus cdot cos theta

Passo 6

Agora, vamos isolar mus:
mus < sin thetacos theta = tan theta
Até aqui, mostramos que o cilindro desliza se mus < tan theta. Mas a questão pede para mostrar que desliza quando mus < tan theta3.
Isso indica que temos mais fatores a considerar, possivelmente relacionados à rotação do cilindro.

Passo 7

Considerando que o cilindro pode rodar enquanto desliza, devemos analisar o momento de força (torque). A condição para rolar sem deslizar envolve o equilíbrio entre a força de atrito e o torque causado pela componente do peso.
Usando as equações de rotação:
fs cdot R = I cdot alpha
Onde R é o raio do cilindro, I é o momento de inércia e alpha é a aceleração angular.
Para um cilindro sólido, I = 12 m R^2. E alpha = aR, onde a é a aceleração linear.
Substituindo:
fs cdot R = 12 m R^2 cdot aR fs = 12 m a

Passo 8

Agora, usando a segunda lei de Newton para a direção paralela ao plano:
m cdot g cdot sin theta - fs = m cdot a
Substituindo fs da equação anterior:
m cdot g cdot sin theta - 12 m a = m cdot a m cdot g cdot sin theta = 32 m a a = 23 g cdot sin theta

Passo 9

Substituindo a de volta na expressão para fs:
fs = 12 m cdot 23 g cdot sin theta = 13 m g cdot sin theta
Agora, lembrando que fs <= mus cdot N = mus cdot m g cdot cos theta, temos:
13 m g cdot sin theta <= mus cdot m g cdot cos theta
Simplificando:
13 sin theta <= mus cos theta mus >= sin theta3 cos theta = tan theta3

Resposta

Portanto, o cilindro deslizará sobre o plano inclinado quando o coeficiente de atrito estático mus for menor que tan theta3.

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