Considere os pontos A=(1,0), B=(3,2), C=(4,4), D=(-2,3), E=(-3,-5). Calculando apenas distâncias entre pontos do plano responda:
Quais dos pontos B, D e E se encontram na região delimitada pelo círculo beta que passa pelo ponto C e tem centro no ponto A?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos cinco pontos no plano: $ A=(1,0) $, $ B=(3,2) $, $ C=(4,4) $, $ D=(-2,3) $ e $ E=(-3,-5) $. Precisamos descobrir quais dos pontos $ B $, $ D $ e $ E $ estão dentro da região delimitada pelo círculo $ \beta $ que tem o centro no ponto $ A $ e passa pelo ponto $ C $.
Conteúdo da matéria: Para resolver esse problema, vamos trabalhar com conceitos de geometria analítica, especificamente com a fórmula da distância entre dois pontos no plano.
O que vamos precisar: A fórmula da distância entre dois pontos e o entendimento de como determinar se um ponto está dentro de um círculo comparando sua distância ao centro com o raio do círculo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o raio do círculo $ \beta $. Sabemos que o círculo tem centro em $ A=(1,0) $ e passa pelo ponto $ C=(4,4) $. O raio é, portanto, a distância entre $ A $ e $ C $.
A fórmula da distância entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é dada por:
beta
Vamos aplicar essa fórmula para encontrar a distância entre $ A $ e $ C $:
A=(1,0)
Então, o raio do círculo $ \beta $ é 5 unidades.

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre o centro do círculo $ A $ e cada um dos pontos $ B $, $ D $ e $ E $. Se a distância de um ponto a $ A $ for menor que o raio $ 5 $, esse ponto está dentro do círculo.
Ponto $ B=(3,2) $:
A
Como $ 2,83 < 5 $, o ponto $ B $ está dentro do círculo $ \beta $.

Passo 4

Ponto $ D=(-2,3) $:
D=(-2,3)
Como $ 4,24 < 5 $, o ponto $ D $ também está dentro do círculo $ \beta $.

Passo 5

Ponto $ E=(-3,-5) $:
E=(-3,-5)
Como $ 6,40 > 5 $, o ponto $ E $ está fora do círculo $ \beta $.

Resposta

Os pontos $ B $ e $ D $ estão na região delimitada pelo círculo $ \beta $. O ponto $ E $ está fora do círculo.

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