Determine o centro e o raio do círculo dado pela equação cartesiana:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o centro e o raio de um círculo que está descrito pela seguinte equação cartesiana:
Esse tipo de problema faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde estudamos formas geométricas usando equações no plano cartesiano. Para resolver, vamos precisar saber como identificar o centro e o raio a partir da equação geral de um círculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a forma geral da equação de um círculo no plano cartesiano:
Aqui,
Passo 3
Vamos comparar a equação que temos com a forma geral. A equação dada é:
Queremos agrupá-la de forma que fique parecida com
Passo 4
Vamos reorganizar a equação agrupando os termos de
e
:
Agora, para completar os quadrados, precisamos adicionar e subtrair os termos adequados dentro de cada parêntese.
Passo 5
Para o termo de
:
Para o termo de
Passo 6
Substituindo de volta na equação original:
Agora, vamos simplificar:
Passo 7
Isolando os termos quadrados:
Passo 8
Agora, a equação está na forma padrão do círculo:
Comparando com a nossa equação:
Podemos identificar diretamente:
- Centro
- Raio
Resposta
O centro do círculo é
e o raio é
.