Determine o centro e o raio do círculo dado pela equação cartesiana:
x^2+y^2-2 pi x+2 pi y+pi^2=0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o centro e o raio de um círculo que está descrito pela seguinte equação cartesiana:
x^2+y^2-2 pi x+2 pi y+pi^2=0
Esse tipo de problema faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde estudamos formas geométricas usando equações no plano cartesiano. Para resolver, vamos precisar saber como identificar o centro e o raio a partir da equação geral de um círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a forma geral da equação de um círculo no plano cartesiano:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Aqui, (h, k) é o centro do círculo e r é o raio. Nosso objetivo é reescrever a equação que temos nessa forma para identificar h, k e r.

Passo 3

Vamos comparar a equação que temos com a forma geral. A equação dada é:
x^2 + y^2 - 2 pi x + 2 pi y + pi^2 = 0
Queremos agrupá-la de forma que fique parecida com (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2. Para isso, vamos completar os quadrados para as partes que envolvem x e y.

Passo 4

Vamos reorganizar a equação agrupando os termos de x e y:
(x^2 - 2 pi x) + (y^2 + 2 pi y) = -pi^2
Agora, para completar os quadrados, precisamos adicionar e subtrair os termos adequados dentro de cada parêntese.

Passo 5

Para o termo de x:
x^2 - 2 pi x = (x^2 - 2 pi x + pi^2) - pi^2 = (x - pi)^2 - pi^2
Para o termo de y:
y^2 + 2 pi y = (y^2 + 2 pi y + pi^2) - pi^2 = (y + pi)^2 - pi^2

Passo 6

Substituindo de volta na equação original:
(x - pi)^2 - pi^2 + (y + pi)^2 - pi^2 = -pi^2
Agora, vamos simplificar:
(x - pi)^2 + (y + pi)^2 - 2pi^2 = -pi^2

Passo 7

Isolando os termos quadrados:
(x - pi)^2 + (y + pi)^2 = -pi^2 + 2pi^2
(x - pi)^2 + (y + pi)^2 = pi^2

Passo 8

Agora, a equação está na forma padrão do círculo:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Comparando com a nossa equação:
(x - pi)^2 + (y + pi)^2 = pi^2
Podemos identificar diretamente:
  • Centro (h, k) = (pi, -pi)
  • Raio r = pi

Resposta

O centro do círculo é (pi, -pi) e o raio é pi.

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