Uma circunferência de raio r>0 tem seu centro C=(x0, y0) no primeiro quadrante do plano, ou seja, que x0>0, y0>0. Determine as condições sobre os números x0, yo e r de modo que a circunferência:
e) intersecte os eixos coordenados em exatamente um ponto;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma circunferência com raio e centro em , localizado no primeiro quadrante do plano cartesiano (ou seja, e ). A gente precisa descobrir quais condições devem satisfazer os números , e para que essa circunferência intersecte os eixos coordenados em exatamente um ponto.
Para resolver isso, vamos precisar entender como a circunferência se relaciona com os eixos e . Vamos usar a equação geral da circunferência e analisar as interseções com cada eixo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação da circunferência com centro em (x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2 e raio :
Essa é a equação padrão que nos diz todos os pontos que estão à distância do centro .

Passo 3

Agora, vamos descobrir onde essa circunferência intersecta o eixo (x - x0)^2 + (0 - y0)^2 = r^2 (x - x0)^2 + y0^2 = r^2 e o eixo (x - x0)^2 = r^2 - y0^2 .
Interseção com o eixo r^2 - y0^2 = 0 r = y0 :
No eixo (0 - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2 x0^2 + (y - y0)^2 = r^2 , a coordenada (y - y0)^2 = r^2 - x0^2 é sempre zero. Então, substituímos r^2 - x0^2 = 0 r = x0 na equação da circunferência:
Resolvendo para :
Para que haja uma única interseção com o eixo , o lado direito da equação precisa ser zero (caso contrário, teríamos duas soluções ou nenhuma):
Então, a circunferência é tangente ao eixo quando .
Interseção com o eixo :
No eixo , a coordenada é sempre zero. Substituímos na equação da circunferência:
Resolvendo para :
De maneira semelhante, para que haja uma única interseção com o eixo , o lado direito precisa ser zero:
Então, a circunferência é tangente ao eixo quando .

Passo 4

Agora, para que a circunferência intersecte os eixos coordenados em exatamente um ponto, ela deve ser tangente a apenas um dos eixos e não intersectar o outro. Isso significa que uma das seguintes condições deve ser verdadeira:
  1. Tangente ao eixo :
    • (para ser tangente ao eixo )
    • E, para não intersectar o eixo , precisamos que
  2. Tangente ao eixo :
    • (para ser tangente ao eixo )
    • E, para não intersectar o eixo , precisamos que

Resposta

As condições para que a circunferência intersecte os eixos coordenados em exatamente um ponto são:
  • Ou e ,
  • Ou e .

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