Uma circunferência de raio
tem seu centro
no primeiro quadrante do plano, ou seja, que
. Determine as condições sobre os números
e
de modo que a circunferência:
e) intersecte os eixos coordenados em exatamente um ponto;
e) intersecte os eixos coordenados em exatamente um ponto;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma circunferência com raio
e centro em
, localizado no primeiro quadrante do plano cartesiano (ou seja,
e
). A gente precisa descobrir quais condições devem satisfazer os números
,
e
para que essa circunferência intersecte os eixos coordenados em exatamente um ponto.
Para resolver isso, vamos precisar entender como a circunferência se relaciona com os eixos
e
. Vamos usar a equação geral da circunferência e analisar as interseções com cada eixo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação da circunferência com centro em
e raio
:
Essa é a equação padrão que nos diz todos os pontos
que estão à distância
do centro
.
Passo 3
Agora, vamos descobrir onde essa circunferência intersecta o eixo
e o eixo
.
Interseção com o eixo
:
No eixo , a coordenada
é sempre zero. Então, substituímos
na equação da circunferência:
No eixo
Resolvendo para
:
Para que haja uma única interseção com o eixo
, o lado direito da equação precisa ser zero (caso contrário, teríamos duas soluções ou nenhuma):
Então, a circunferência é tangente ao eixo
quando
.
Interseção com o eixo
:
No eixo , a coordenada
é sempre zero. Substituímos
na equação da circunferência:
No eixo
Resolvendo para
:
De maneira semelhante, para que haja uma única interseção com o eixo
, o lado direito precisa ser zero:
Então, a circunferência é tangente ao eixo
quando
.
Passo 4
Agora, para que a circunferência intersecte os eixos coordenados em exatamente um ponto, ela deve ser tangente a apenas um dos eixos e não intersectar o outro. Isso significa que uma das seguintes condições deve ser verdadeira:
-
Tangente ao eixo
: -
(para ser tangente ao eixo ) - E, para não intersectar o eixo
, precisamos que
-
-
Tangente ao eixo
: -
(para ser tangente ao eixo ) - E, para não intersectar o eixo
, precisamos que
-
Resposta
As condições para que a circunferência intersecte os eixos coordenados em exatamente um ponto são:
- Ou
e , - Ou
e .