Obtenha uma equação vetorial para a reta t, concorrente com r e s, nos seguintes casos (interprete geometricamente os resultados):
a)
s:
b)
c)
e té paralela à reta
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado pede. Temos duas retas, r e s, e queremos encontrar uma equação vetorial para uma terceira reta t que seja concorrente com elas. Isso significa que t deve passar pelo ponto de interseção de r e s ou intersectar ambas em algum ponto.
Conteúdo da matéria: Geometria Analítica no espaço, especificamente sobre retas e suas equações vetoriais.
O que precisamos: Encontrar o ponto de interseção das retas r e s e determinar a direção da reta t que passa por esse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações das retas r e s.
Reta r:
Reta s:
Nossa missão é encontrar o ponto onde r e s se intersectam.
Passo 3
Substituímos as coordenadas da reta r na equação da reta s para encontrar o ponto de interseção.
Expressamos as coordenadas de r em termos de :
Agora, substituímos esses valores nas equações de s:
Agora, substituímos x = 1 + 2(-23) = 1 - 43 = -13 y = 1 + (-23) = 13 z = -1 - (-23) = -1 + 23 = -13 nas coordenadas de r para encontrar o ponto de interseção:
Portanto, o ponto de interseção é .
Passo 6
Com o ponto de interseção encontrado, precisamos definir a direção da reta t que será concorrente com r e s. A direção de t pode ser qualquer direção que passe por esse ponto, mas para simplificar, podemos escolher a direção de r ou s.
Vamos escolher a direção de r, que é .
Passo 7
Agora, podemos escrever a equação vetorial da reta t usando o ponto de interseção e a direção escolhida:
t: X = ( -13, 13, -13 ) + mu(2,1,-1)
Onde é o parâmetro da reta.
Passo 8
Agora, vamos para o item b. Temos duas retas r e s e precisamos encontrar uma reta t que seja concorrente com ambas.
Reta r:
Reta s:
Conteúdo da matéria: Geometria Analítica no espaço.
O que precisamos: Encontrar o ponto de interseção e a direção da reta t.
Passo 9
Primeiro, vamos reescrever a equação da reta r em forma vetorial para facilitar os cálculos.
A equação r: X = (-1, 0, 0) + mu(2,1,-1) pode ser expressa como:
Substituindo 1 + 2mu = -3 implies 2mu = -4 implies mu = -2 na primeira equação:
2 - (-2) = 1 - (-3) 4 = 4 (válido)
Verificamos na segunda equação:
á
Passo 17
Com x = 1 + 2(-2) = 1 - 4 = -3 y = 2 - (-2) = 4 z = 3 , encontramos o ponto de interseção substituindo na equação de r:
Portanto, o ponto de interseção é .
Passo 18
Agora, definimos a reta t que passa por esse ponto e é concorrente com r e s. Podemos escolher a direção de uma das retas r ou s.
Vamos optar pela direção da reta r, que é .
Passo 19
A equação vetorial da reta t será:
t: X = (-3, 4, 3) + mu(2,-1,0)
Onde é o parâmetro.
Passo 20
Finalmente, o item e. Precisamos encontrar uma reta t concorrente com outras dadas e que seja paralela à reta h.
Reta h:
Conteúdo da matéria: Geometria Analítica no espaço, paralelismo de retas.
O que precisamos: Determinar a equação da reta t que é concorrente com as retas anteriores e paralela à reta h.
Passo 21
Para que a reta t seja paralela à reta h, ela deve ter a mesma direção que h, ou seja, o vetor diretor de t deve ser proporcional ao vetor diretor de h.
Vetor diretor de h: ( 439 times 27, 8627 times 27, -4327 times 27 ) = (129, 86, -43)
Podemos simplificar esse vetor multiplicando por 27 para facilitar:
(3, 2, -1)
Portanto, a direção de t é , que pode ser simplificada dividindo por 43:
Então, o vetor diretor simplificado de t é .
Passo 22
Agora, para definir a reta t que é concorrente com as retas anteriores, precisamos que t passe pelo ponto de interseção encontrado anteriormente. Vamos considerar o ponto de interseção do item c, que é .
Passo 23
Com o ponto t: X = (-3, 4, 3) + mu(3,2,-1) e a direção , a equação vetorial da reta t será: