Obtenha uma equação vetorial para a reta t, concorrente com r e s, nos seguintes casos (interprete geometricamente os resultados):
a) r: X=(1,1,-1)+lambda(2,1,-1)
s: lx+y-3 z=1 2 x-y-2 z=0
b) r: x+12=y=-z
s: X=(13, 23, 0)+lambda(5,4,3)
c) r: X=(1,2,3)+lambda(2,-1,0) s: X=(0,1,-3)+lambda(1,-1,-2)
e té paralela à reta
h: X=(0,0,0)+lambda(439, 8627, -4327)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado pede. Temos duas retas, r e s, e queremos encontrar uma equação vetorial para uma terceira reta t que seja concorrente com elas. Isso significa que t deve passar pelo ponto de interseção de r e s ou intersectar ambas em algum ponto.
Conteúdo da matéria: Geometria Analítica no espaço, especificamente sobre retas e suas equações vetoriais.
O que precisamos: Encontrar o ponto de interseção das retas r e s e determinar a direção da reta t que passa por esse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações das retas r e s.
  • Reta r: x + y - 3z = 1 2x - y - 2z = 0
  • Reta s:
Nossa missão é encontrar o ponto onde r e s se intersectam.

Passo 3

Substituímos as coordenadas da reta r na equação da reta s para encontrar o ponto de interseção.
Expressamos as coordenadas de r em termos de x = 1 + 2lambda y = 1 + lambda z = -1 - lambda :
Agora, substituímos esses valores nas equações de s:

Passo 4

Vamos resolver a primeira equação:
1 + 2lambda + 1 + lambda + 3 + 3lambda = 1 (2lambda + lambda + 3lambda) + (1 + 1 + 3) = 1 6lambda + 5 = 1 6lambda = -4 lambda = -23

Passo 5

Agora, substituímos x = 1 + 2(-23) = 1 - 43 = -13 y = 1 + (-23) = 13 z = -1 - (-23) = -1 + 23 = -13 nas coordenadas de r para encontrar o ponto de interseção:
Portanto, o ponto de interseção é .

Passo 6

Com o ponto de interseção encontrado, precisamos definir a direção da reta t que será concorrente com r e s. A direção de t pode ser qualquer direção que passe por esse ponto, mas para simplificar, podemos escolher a direção de r ou s.
Vamos escolher a direção de r, que é .

Passo 7

Agora, podemos escrever a equação vetorial da reta t usando o ponto de interseção e a direção escolhida:
t: X = ( -13, 13, -13 ) + mu(2,1,-1)
Onde é o parâmetro da reta.

Passo 8

Agora, vamos para o item b. Temos duas retas r e s e precisamos encontrar uma reta t que seja concorrente com ambas.
Reta r:
Reta s:
Conteúdo da matéria: Geometria Analítica no espaço.
O que precisamos: Encontrar o ponto de interseção e a direção da reta t.

Passo 9

Primeiro, vamos reescrever a equação da reta r em forma vetorial para facilitar os cálculos.
A equação r: X = (-1, 0, 0) + mu(2,1,-1) pode ser expressa como:
onde é o parâmetro.

Passo 10

Agora, temos duas retas r e s:
  • Reta r: -1 + 2mu = 13 + 5lambda 0 + mu = 23 + 4lambda 0 - mu = 0 + 3lambda
  • Reta s:
Queremos encontrar se elas se intersectam. Para isso, igualamos as coordenadas:

Passo 11

Vamos resolver o sistema de equações:
Da terceira equação:
-mu = 3lambda implies lambda = -mu3
Substituindo mu = 23 + 4(-mu3) mu = 23 - 4mu3 mu + 4mu3 = 23 7mu3 = 23 7mu = 2 mu = 27 na segunda equação:

Passo 12

Agora, encontramos -1 + 2(27) = 13 + 5(-221) -1 + 47 = 13 - 1021 -37 = 721 - 1021 -37 = -321 -37 = -17 (inconsistência) .
Verificamos na primeira equação:
ê
Como há uma inconsistência, as retas r e s são paralelas e não se intersectam.

Passo 13

Como as retas r e s não se intersectam, a reta t não pode ser concorrente com ambas. Nesse caso, não existe uma reta t que seja concorrente com r e s.

Passo 14

Passando para o item c. Temos duas retas r e s e precisamos encontrar uma reta t que seja concorrente com elas.
Reta r:
Reta s:
Conteúdo da matéria: Geometria Analítica no espaço.
O que precisamos: Encontrar o ponto de interseção das retas r e s e definir a equação da reta t que passa por esse ponto.

Passo 15

Primeiro, vamos igualar as equações das retas r e s para encontrar o ponto de interseção.
(1 + 2mu, 2 - mu, 3) = (0 + lambda, 1 - lambda, -3 - 2lambda)
Isso nos dá o sistema:
1 + 2mu = lambda 2 - mu = 1 - lambda 3 = -3 - 2lambda

Passo 16

Vamos resolver o sistema:
Da terceira equação:
3 = -3 - 2lambda implies 6 = -2lambda implies lambda = -3
Substituindo 1 + 2mu = -3 implies 2mu = -4 implies mu = -2 na primeira equação:
2 - (-2) = 1 - (-3) 4 = 4 (válido)
Verificamos na segunda equação:
á

Passo 17

Com x = 1 + 2(-2) = 1 - 4 = -3 y = 2 - (-2) = 4 z = 3 , encontramos o ponto de interseção substituindo na equação de r:
Portanto, o ponto de interseção é .

Passo 18

Agora, definimos a reta t que passa por esse ponto e é concorrente com r e s. Podemos escolher a direção de uma das retas r ou s.
Vamos optar pela direção da reta r, que é .

Passo 19

A equação vetorial da reta t será:
t: X = (-3, 4, 3) + mu(2,-1,0)
Onde é o parâmetro.

Passo 20

Finalmente, o item e. Precisamos encontrar uma reta t concorrente com outras dadas e que seja paralela à reta h.
Reta h:
Conteúdo da matéria: Geometria Analítica no espaço, paralelismo de retas.
O que precisamos: Determinar a equação da reta t que é concorrente com as retas anteriores e paralela à reta h.

Passo 21

Para que a reta t seja paralela à reta h, ela deve ter a mesma direção que h, ou seja, o vetor diretor de t deve ser proporcional ao vetor diretor de h.
Vetor diretor de h: ( 439 times 27, 8627 times 27, -4327 times 27 ) = (129, 86, -43)
Podemos simplificar esse vetor multiplicando por 27 para facilitar:
(3, 2, -1)
Portanto, a direção de t é , que pode ser simplificada dividindo por 43:
Então, o vetor diretor simplificado de t é .

Passo 22

Agora, para definir a reta t que é concorrente com as retas anteriores, precisamos que t passe pelo ponto de interseção encontrado anteriormente. Vamos considerar o ponto de interseção do item c, que é .

Passo 23

Com o ponto t: X = (-3, 4, 3) + mu(3,2,-1) e a direção , a equação vetorial da reta t será:
Onde é o parâmetro.

Resposta

A equação vetorial da reta t é:
t: X = (-3, 4, 3) + mu(3,2,-1)

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