Após uma rotação de um ângulo theta=pi / 4 seguida de uma translação para a nova origem O=(3,4), obteve-se a equação 16 x^prime prime^2-9 y^prime^prime 2=144. Encontre a equação original.
(R: 7 x^2+50 x y+7 y^2-168 raiz2 x-24 raiz2 y-288=0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação original de uma curva que, após passar por uma rotação de ângulo e uma translação para a nova origem , resulta na equação . Para isso, vamos usar conceitos de transformação de coordenadas, como rotação e translação, aplicados em geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma rotação de coordenadas. Quando rotacionamos o sistema de coordenadas em um ângulo x' = x cos theta + y sin theta y' = -x sin theta + y cos theta , estamos basicamente girando os eixos x' = raiz22 x + raiz22 y y' = -raiz22 x + raiz22 y e em relação aos eixos originais. A fórmula para a rotação é:
No nosso caso, , então . Substituindo:

Passo 3

Agora, vamos considerar a translação do sistema de coordenadas para a nova origem x'' = x' - 3 y'' = y' - 4 . Isso significa que estamos deslocando o sistema original em 3 unidades no eixo e 4 unidades no eixo . As novas coordenadas após a translação são:

Passo 4

Sabemos que, após essas transformações, a equação da curva fica x' = raizx''^2 = x''4 (Ajustando os coeficientes) y' = raizy''^2916 = y''3 . Agora, nosso objetivo é voltar ao sistema de coordenadas original, ou seja, aplicar as transformações inversas para encontrar a equação original da curva.
Primeiro, vamos resolver para x'' = x' - 3 y'' = y' - 4 e 16 (x' - 3)^2 - 9 (y' - 4)^2 = 144 :
Mas, na verdade, precisamos substituir e pelas expressões em termos de e :
Substituindo na equação da curva:

Passo 5

Agora, vamos expandir os termos quadrados:
16(x'^2 - 6x' + 9) - 9(y'^2 - 8y' + 16) = 144
Distribuindo os coeficientes:
16x'^2 - 96x' + 144 - 9y'^2 + 72y' - 144 = 144
Simplificando:
16x'^2 - 9y'^2 - 96x' + 72y' = 144

Passo 6

Agora, substituímos x' = raiz22 x + raiz22 y y' = -raiz22 x + raiz22 y e 16(raiz22 x + raiz22 y)^2 - 9(-raiz22 x + raiz22 y)^2 - 96(raiz22 x + raiz22 y) + 72(-raiz22 x + raiz22 y) = 144 pelas expressões em termos de e da rotação que fizemos inicialmente:
Substituindo esses na equação:

Passo 7

Agora, vamos calcular cada termo:
Primeiro, os quadrados:
(raiz22 x + raiz22 y)^2 = 24x^2 + 242xy + 24y^2 = 12x^2 + xy + 12y^2
(-raiz22 x + raiz22 y)^2 = 24x^2 - 242xy + 24y^2 = 12x^2 - xy + 12y^2
Agora, substituindo de volta:
16(12x^2 + xy + 12y^2) - 9(12x^2 - xy + 12y^2) - 96(raiz22 x + raiz22 y) + 72(-raiz22 x + raiz22 y) = 144
Multiplicando os coeficientes:
8x^2 + 16xy + 8y^2 - 92x^2 + 9xy - 92y^2 - 48raiz2x - 48raiz2y - 36raiz2x + 36raiz2y = 144

Passo 8

Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
Para 8x^2 - 92x^2 = 162x^2 - 92x^2 = 72x^2 :
16xy + 9xy = 25xy
Para 8y^2 - 92y^2 = 162y^2 - 92y^2 = 72y^2 :
-48raiz2x - 36raiz2x = -84raiz2x
Para -48raiz2y + 36raiz2y = -12raiz2y :
72x^2 + 25xy + 72y^2 - 84raiz2x - 12raiz2y = 144
Para 7x^2 + 50xy + 7y^2 - 168raiz2x - 24raiz2y = 288 :
Para :
Então, a equação fica:
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar as frações:

Resposta

7x^2 + 50xy + 7y^2 - 168 raiz2,x - 24 raiz2,y - 288 = 0

Exercícios relacionados