Após uma rotação de um ângulo seguida de uma translação para a nova origem , obteve-se a equação . Encontre a equação original.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação original de uma curva que, após passar por uma rotação de ângulo e uma translação para a nova origem , resulta na equação . Para isso, vamos usar conceitos de transformação de coordenadas, como rotação e translação, aplicados em geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma rotação de coordenadas. Quando rotacionamos o sistema de coordenadas em um ângulo , estamos basicamente girando os eixos e em relação aos eixos originais. A fórmula para a rotação é:
No nosso caso, , então . Substituindo:
Passo 3
Agora, vamos considerar a translação do sistema de coordenadas para a nova origem . Isso significa que estamos deslocando o sistema original em 3 unidades no eixo e 4 unidades no eixo . As novas coordenadas após a translação são:
Passo 4
Sabemos que, após essas transformações, a equação da curva fica . Agora, nosso objetivo é voltar ao sistema de coordenadas original, ou seja, aplicar as transformações inversas para encontrar a equação original da curva.
Primeiro, vamos resolver para e :
Mas, na verdade, precisamos substituir e pelas expressões em termos de e :
Substituindo na equação da curva:
Passo 5
Agora, vamos expandir os termos quadrados:
16(x'^2 - 6x' + 9) - 9(y'^2 - 8y' + 16) = 144
Distribuindo os coeficientes:
16x'^2 - 96x' + 144 - 9y'^2 + 72y' - 144 = 144
Simplificando:
16x'^2 - 9y'^2 - 96x' + 72y' = 144
Passo 6
Agora, substituímos x' = raiz22 x + raiz22 y y' = -raiz22 x + raiz22 y e 16(raiz22 x + raiz22 y)^2 - 9(-raiz22 x + raiz22 y)^2 - 96(raiz22 x + raiz22 y) + 72(-raiz22 x + raiz22 y) = 144 pelas expressões em termos de e da rotação que fizemos inicialmente: