Verifique que, apesar de serem equações de segundo grau, elas representam diferentes lugares geométricos:
b) x^2+y^2=0 é um ponto (uma elipse degenerada);

Passo 1

Vamos dar uma olhada na equação que a gente precisa analisar: . Essa é uma equação do segundo grau em duas variáveis, e . Nosso objetivo aqui é entender que tipo de lugar geométrico essa equação representa. Para isso, vamos precisar lembrar um pouco sobre as curvas de segundo grau, como círculos e elipses, e o que acontece quando certas características dessas curvas mudam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um círculo é , onde é o raio. Nessa equação, para qualquer valor positivo de , temos um círculo com centro na origem . Agora, vamos comparar isso com a nossa equação .

Passo 3

Na nossa equação, o lado direito é zero. Então, temos . Vamos pensar no que isso significa. Sabemos que e são sempre maiores ou iguais a zero, pois qualquer número ao quadrado não pode ser negativo. Portanto, a única maneira de a soma deles ser zero é se ambos forem iguais a zero.

Passo 4

Então, se , isso implica que e . Ou seja, o único ponto que satisfaz essa equação é o ponto . Diferente de um círculo, que tem infinitos pontos, aqui temos apenas um único ponto.

Passo 5

Podemos dizer que essa equação representa uma elipse degenerada. Uma elipse comum tem dois eixos e se estende em duas direções, mas quando ambos os eixos têm comprimento zero, a elipse “degrada” para um único ponto. No nosso caso, o ponto representa essa elipse degenerada.

Resposta

A equação representa apenas o ponto , funcionando como uma elipse degenerada.

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