Verifique que, apesar de serem equações de segundo grau, elas representam diferentes lugares geométricos:
b)
é um ponto (uma elipse degenerada);
b)
Passo 1
Vamos dar uma olhada na equação que a gente precisa analisar:
. Essa é uma equação do segundo grau em duas variáveis,
e
. Nosso objetivo aqui é entender que tipo de lugar geométrico essa equação representa. Para isso, vamos precisar lembrar um pouco sobre as curvas de segundo grau, como círculos e elipses, e o que acontece quando certas características dessas curvas mudam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um círculo é
, onde
é o raio. Nessa equação, para qualquer valor positivo de
, temos um círculo com centro na origem
. Agora, vamos comparar isso com a nossa equação
.
Passo 3
Na nossa equação, o lado direito é zero. Então, temos
. Vamos pensar no que isso significa. Sabemos que
e
são sempre maiores ou iguais a zero, pois qualquer número ao quadrado não pode ser negativo. Portanto, a única maneira de a soma deles ser zero é se ambos forem iguais a zero.
Passo 4
Então, se
, isso implica que
e
. Ou seja, o único ponto que satisfaz essa equação é o ponto
. Diferente de um círculo, que tem infinitos pontos, aqui temos apenas um único ponto.
Passo 5
Podemos dizer que essa equação representa uma elipse degenerada. Uma elipse comum tem dois eixos e se estende em duas direções, mas quando ambos os eixos têm comprimento zero, a elipse “degrada” para um único ponto. No nosso caso, o ponto
representa essa elipse degenerada.
Resposta
A equação
representa apenas o ponto
, funcionando como uma elipse degenerada.