Uma classe de alunos teve a seguinte distribuição das notas finais: 8 do sexo masculino e 14 do feminino foram aprovados, 4 do sexo masculino e 6 do feminino foram reprovados. Para um aluno sorteado dessa classe, denote por M se o aluno escolhido for do sexo masculino e por A se o aluno foi aprovado. Calcule:
(a) P(A cup M^c).
(b) P(A^c cap M^c).
© P(A mid M).
(d) P(M^c mid A).
(e) P(M mid A).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade juntos! A gente tem uma turma com alunos masculinos e femininos, alguns aprovados e outros reprovados. Precisamos calcular algumas probabilidades usando esses dados. Para isso, vamos usar conceitos básicos de probabilidade, como união, interseção e probabilidade condicional. Vamos lá!

Passo 2

(a) Calcular P(A cup M^c) = P(A) + P(M^c) - P(A cap M^c)
Primeiro, vamos entender o que significa P(A) = 2232 = 1116 . Isso representa a probabilidade de um aluno ser aprovado ou não ser masculino.
A fórmula para a união de dois eventos é:
P(M^c) = 2032 = 58
Vamos calcular cada parte:
  1. Total de alunos aprovados ( P(A cap M^c) = 1432 = 716 ):
    • Masculinos aprovados: 8
    • Femininos aprovados: 14
    • Total aprovados: 8 + 14 = 22
  2. Total de alunos não masculinos ( P(A cup M^c) = 1116 + 58 - 716 = 1116 + 1016 - 716 = 1416 = 78 ):
    • Femininos aprovados: 14
    • Femininos reprovados: 6
    • Total não masculinos: 14 + 6 = 20
  3. Total de alunos aprovados e não masculinos ( ):
    • Femininos aprovados: 14
  4. Total de alunos na turma:
    • Masculinos aprovados: 8
    • Masculinos reprovados: 4
    • Femininos aprovados: 14
    • Femininos reprovados: 6
    • Total: 8 + 4 + 14 + 6 = 32
Agora, aplicando os valores na fórmula:

Passo 3

(b) Calcular P(A^c cap M^c) = 632 = 316
Aqui, representa a probabilidade de um aluno não ser aprovado e não ser masculino.
Vamos identificar quantos alunos se encaixam nessa categoria:
  • Não aprovados:
    • Masculinos reprovados: 4
    • Femininos reprovados: 6
    • Total não aprovados: 4 + 6 = 10
  • Não masculinos:
    • Já sabemos que são 20 alunos.
  • Não aprovados e não masculinos:
    • Femininos reprovados: 6
Então:

Passo 4

© Calcular P(A mid M) = P(A cap M)P(M)
P(A mid M) = 812 = 23 é a probabilidade de um aluno ser aprovado dado que ele é masculino.
A fórmula da probabilidade condicional é:
Vamos calcular cada parte:
  1. Alunos masculinos aprovados ( ):
    • 8 alunos
  2. Total de alunos masculinos ( ):
    • Masculinos aprovados: 8
    • Masculinos reprovados: 4
    • Total masculinos: 8 + 4 = 12
Então:

Passo 5

(d) Calcular P(M^c mid A) = P(M^c cap A)P(A)
Aqui, P(M^c cap A) = 1432 = 716 é a probabilidade de um aluno não ser masculino dado que ele foi aprovado.
Usando a fórmula da probabilidade condicional:
P(A) = 2232 = 1116
Já sabemos que:
P(M^c mid A) = 7161116 = 711
Então:

Passo 6

(e) Calcular P(M mid A) = P(M cap A)P(A)
P(M cap A) = 832 = 14 é a probabilidade de um aluno ser masculino dado que ele foi aprovado.
Novamente, usando a fórmula da probabilidade condicional:
P(A) = 2232 = 1116
Sabemos que:
P(M mid A) = 141116 = 411
Então:

Resposta

(a)
(b)
©
(d)
(e)

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