Uma classe de Estatística teve a seguinte distribuição das notas finais: 4 do sexo masculino e 6 do sexo feminino foram reprovados, 8 do sexo masculino e 14 do sexo feminino foram aprovados. Para um aluno sorteado dessa classe, ao acaso, denote por M se o aluno escolhido for do sexo masculino e por A se o aluno for aprovado. Calcule:
a) P(A cup M^c);
b) P(A mid M);
c) P(A^c cap M^c).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma turma de Estatística com uma distribuição de notas finais dividida por sexo e aprovação. A gente vai mexer com probabilidade aqui, usando conceitos básicos de conjuntos e eventos. Para resolver, vamos precisar entender como calcular probabilidades de união, interseção e probabilidade condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as informações:
  • Reprovados:
    • Masculino: 4
    • Feminino: 6
  • Aprovados:
    • Masculino: 8
    • Feminino: 14
Total de alunos na turma:
4 + 6 + 8 + 14 = 32

Passo 3

a) Calcular P(A cup M^c) = Aprovados + Não masculinos - Aprovados femininosTotal
Aqui, queremos a probabilidade de um aluno ser aprovado ou não ser masculino.
Primeiro, vamos entender o que é P(A cup M^c) = 22 + 20 - 1432 = 2832 = 78 . Isso representa o complemento de , ou seja, alunos que não são masculinos, ou seja, femininos.
Então, inclui todos os alunos que são aprovados ou são do sexo feminino.
Vamos contar:
  • Aprovados (A): 8 (masculino) + 14 (feminino) = 22
  • Não masculinos (M^{c}): 6 (reprovados femininos) + 14 (aprovados femininos) = 20
Agora, a união conta todos os aprovados e todas as não masculinos, mas temos que retirar a contagem dupla dos aprovados que já são não masculinos:
ã

Passo 4

b) Calcular P(A mid M) = P(A cap M)P(M)
Aqui, queremos a probabilidade de um aluno ser aprovado dado que ele é masculino. Isso é uma probabilidade condicional.
A fórmula é:
P(A mid M) = 812 = 23
Vamos calcular cada parte:
  • : Probabilidade de ser aprovado e masculino = 8 aprovados masculinos
  • : Probabilidade de ser masculino = 12 alunos masculinos
Então:

Passo 5

c) Calcular P(A^c cap M^c) = 632 = 316
Aqui, queremos a probabilidade de um aluno não ser aprovado e não ser masculino. Ou seja, alunos que são reprovados e femininos.
Vamos olhar para os dados:
  • Reprovados femininos: 6
Então:

Resposta

a)
b)
c)

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