Suponha que um aluno pretende fazer um teste de múltipla escolha com 10 questões e cinco alternativas por questão, respondendo cada uma das questões de forma aleatória. Qual é probabilidade de ele acertar no máximo 3 questões? Qual é o número esperado de questões respondidas corretamente? E o desvio padrão do número de questões respondidas corretamente?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre probabilidade em um teste de múltipla escolha com 10 perguntas, cada uma tendo 5 alternativas. O aluno vai responder todas as perguntas aleatoriamente. Precisamos descobrir três coisas:
- A probabilidade dele acertar no máximo 3 questões.
- O número esperado de acertos.
- O desvio padrão do número de acertos.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Distribuição Binomial, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas, cada uma com duas possibilidades (acertar ou errar), e a probabilidade de sucesso é a mesma em cada tentativa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de ele acertar no máximo 3 questões. Isso significa calcular a probabilidade de acertar 0, 1, 2 ou 3 questões e somar esses valores.
A fórmula da probabilidade binomial é:
Onde:
-
é o número total de questões. -
é o número de acertos que queremos calcular. -
é a probabilidade de acertar uma questão (já que são 5 alternativas).
Vamos calcular para
:
- Para k = 0:
- Para k = 1:
- Para k = 2:
- Para k = 3:
Agora, somamos todas essas probabilidades:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o número esperado de questões respondidas corretamente. Na distribuição binomial, o valor esperado
é dado por:
Substituindo os valores:
Então, o número esperado de acertos é 2 questões.
Passo 4
Por último, vamos calcular o desvio padrão do número de acertos. O desvio padrão
na distribuição binomial é:
Substituindo os valores:
Ent��o, o desvio padrão é aproximadamente 1,265 questões.
Resposta
A probabilidade de acertar no máximo 3 questões é aproximadamente 87,91%. O número esperado de questões respondidas corretamente é 2 e o desvio padrão é aproximadamente 1,265 questões.
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b) ;
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