Suponha que um aluno pretende fazer um teste de múltipla escolha com 10 questões e cinco alternativas por questão, respondendo cada uma das questões de forma aleatória. Qual é probabilidade de ele acertar no máximo 3 questões? Qual é o número esperado de questões respondidas corretamente? E o desvio padrão do número de questões respondidas corretamente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre probabilidade em um teste de múltipla escolha com 10 perguntas, cada uma tendo 5 alternativas. O aluno vai responder todas as perguntas aleatoriamente. Precisamos descobrir três coisas:
  1. A probabilidade dele acertar no máximo 3 questões.
  2. O número esperado de acertos.
  3. O desvio padrão do número de acertos.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Distribuição Binomial, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas, cada uma com duas possibilidades (acertar ou errar), e a probabilidade de sucesso é a mesma em cada tentativa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de ele acertar no máximo 3 questões. Isso significa calcular a probabilidade de acertar 0, 1, 2 ou 3 questões e somar esses valores.
A fórmula da probabilidade binomial é:
Onde:
  • é o número total de questões.
  • é o número de acertos que queremos calcular.
  • é a probabilidade de acertar uma questão (já que são 5 alternativas).
Vamos calcular para :
  1. Para k = 0:
  1. Para k = 1:
  1. Para k = 2:
  1. Para k = 3:
Agora, somamos todas essas probabilidades:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o número esperado de questões respondidas corretamente. Na distribuição binomial, o valor esperado é dado por:
Substituindo os valores:
Então, o número esperado de acertos é 2 questões.

Passo 4

Por último, vamos calcular o desvio padrão do número de acertos. O desvio padrão na distribuição binomial é:
Substituindo os valores:
Ent��o, o desvio padrão é aproximadamente 1,265 questões.

Resposta

A probabilidade de acertar no máximo 3 questões é aproximadamente 87,91%. O número esperado de questões respondidas corretamente é 2 e o desvio padrão é aproximadamente 1,265 questões.

Exercícios relacionados

Uma classe de Estatística teve a seguinte distribuição das notas finais: 4 do sexo masculino e 6 do sexo feminino foram reprovados, 8 do sexo masculino e 14 do sexo feminino foram aprovados. Para um aluno sorteado dessa classe, ao acaso, denote por se o aluno escolhido for do sexo masculino e por se o aluno for aprovado. Calcule:
a) ;
b) ;
c) .
Com base nos dados levantados por estudantes da UEL, 62% dos universitários são de opinião de que alguns programas de televisāo trazem problemas para a familia. Calcule a probabilidade de, em 5 estudantes universitários:
b) Apenas 3 concordarem com a pesquisa.
Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. Três bolas são retiradas simultaneamente dessa urna. Se ganharmos por bola branca retirada e perdermos por bola preta retirada.
a) Encontre a função de massa de probabilidade do lucro;
b) Faça o gráfico da função de distribuição acumulada do lucro;
c) Encontre o lucro esperado, o lucro mediano e a moda do lucro;
d) Calcule o desvio padrão do lucro.