Suponha que um aluno pretende fazer um teste de múltipla escolha com 10 questões e cinco alternativas por questão, respondendo cada uma das questões de forma aleatória. Qual é probabilidade de ele acertar no máximo 3 questões? Qual é o número esperado de questões respondidas corretamente? E o desvio padrão do número de questões respondidas corretamente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre probabilidade em um teste de múltipla escolha com 10 perguntas, cada uma tendo 5 alternativas. O aluno vai responder todas as perguntas aleatoriamente. Precisamos descobrir três coisas:
  1. A probabilidade dele acertar no máximo 3 questões.
  2. O número esperado de acertos.
  3. O desvio padrão do número de acertos.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Distribuição Binomial, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas, cada uma com duas possibilidades (acertar ou errar), e a probabilidade de sucesso é a mesma em cada tentativa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de ele acertar no máximo 3 questões. Isso significa calcular a probabilidade de acertar 0, 1, 2 ou 3 questões e somar esses valores.
A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • P(X = 0) = binom100 (0,2)^0 (0,8)^10 = 1 times 1 times 0,1073741824 approx 0,1074 é o número total de questões.
  • P(X = 1) = binom101 (0,2)^1 (0,8)^9 = 10 times 0,2 times 0,134217728 approx 0,2684 é o número de acertos que queremos calcular.
  • P(X = 2) = binom102 (0,2)^2 (0,8)^8 = 45 times 0,04 times 0,16777216 approx 0,30199 é a probabilidade de acertar uma questão (já que são 5 alternativas).
Vamos calcular para P(X = 3) = binom103 (0,2)^3 (0,8)^7 = 120 times 0,008 times 0,2097152 approx 0,201327 :
  1. Para k = 0:
P(X <= 3) approx 0,1074 + 0,2684 + 0,3020 + 0,2013 approx 0,8791
  1. Para k = 1:
  1. Para k = 2:
  1. Para k = 3:
Agora, somamos todas essas probabilidades:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o número esperado de questões respondidas corretamente. Na distribuição binomial, o valor esperado E(X) = n times p é dado por:
E(X) = 10 times 0,2 = 2
Substituindo os valores:
Então, o número esperado de acertos é 2 questões.

Passo 4

Por último, vamos calcular o desvio padrão do número de acertos. O desvio padrão sigma = raizn times p times (1 - p) na distribuição binomial é:
sigma = raiz10 times 0,2 times 0,8 = raiz1,6 approx 1,2649
Substituindo os valores:
Ent��o, o desvio padrão é aproximadamente 1,265 questões.

Resposta

A probabilidade de acertar no máximo 3 questões é aproximadamente 87,91%. O número esperado de questões respondidas corretamente é 2 e o desvio padrão é aproximadamente 1,265 questões.

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