Mostre que se A e B são independentes, então A e B^c, B e A^c e ainda A^c e B^c também são independentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que, se os eventos e são independentes, então também os pares e , e , e e são independentes. Vamos usar conceitos de probabilidade e independência de eventos para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa os eventos serem independentes. Dois eventos P(A cap B) = P(A) times P(B) e são independentes se a probabilidade de ambos acontecerem juntos é igual ao produto das probabilidades individuais deles. Ou seja:
Esse é o ponto de partida para mostrar a independência dos outros pares.

Passo 3

Vamos agora mostrar que P(A cap B^c) = P(A) - P(A cap B) e P(A cap B^c) = P(A) - P(A) times P(B) = P(A) times (1 - P(B)) = P(A) times P(B^c) são independentes. Primeiramente, sabemos que:
P(A cap B^c) = P(A) times P(B^c)
Como e são independentes, substituímos por :
Isso mostra que:
Portanto, e são independentes.

Passo 4

Agora, vamos verificar a independência de P(B cap A^c) = P(B) - P(A cap B) e P(B cap A^c) = P(B) - P(A) times P(B) = P(B) times (1 - P(A)) = P(B) times P(A^c) . De maneira similar:
P(B cap A^c) = P(B) times P(A^c)
Substituindo por :
Assim, temos:
Logo, e também são independentes.

Passo 5

Por último, vamos mostrar que P(A^c cap B^c) = 1 - P(A cup B) e P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B) são independentes. Observamos que:
P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A) times P(B)
Usando a fórmula da união de dois eventos:
P(A^c cap B^c) = 1 - [P(A) + P(B) - P(A) times P(B)] = (1 - P(A)) times (1 - P(B)) = P(A^c) times P(B^c)
Como P(A^c cap B^c) = P(A^c) times P(B^c) e são independentes:
Então:
Dessa forma:
Isso confirma que e são independentes.

Resposta

Assim, mostramos que se e são independentes, então e , e , e e também são independentes.

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