Mostre que se e são independentes, então e e e ainda e também são independentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que, se os eventos e são independentes, então também os pares e , e , e e são independentes. Vamos usar conceitos de probabilidade e independência de eventos para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa os eventos serem independentes. Dois eventos e são independentes se a probabilidade de ambos acontecerem juntos é igual ao produto das probabilidades individuais deles. Ou seja:
Esse é o ponto de partida para mostrar a independência dos outros pares.

Passo 3

Vamos agora mostrar que e são independentes. Primeiramente, sabemos que:
Como e são independentes, substituímos por :
Isso mostra que:
Portanto, e são independentes.

Passo 4

Agora, vamos verificar a independência de e . De maneira similar:
Substituindo por :
Assim, temos:
Logo, e também são independentes.

Passo 5

Por último, vamos mostrar que e são independentes. Observamos que:
Usando a fórmula da união de dois eventos:
Como e são independentes:
Então:
Dessa forma:
Isso confirma que e são independentes.

Resposta

Assim, mostramos que se e são independentes, então e , e , e e também são independentes.

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a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) .
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a) ;
b) ;
c) .