Mostre que se
e
são independentes, então
e
e
e ainda
e
também são independentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que, se os eventos
e
são independentes, então também os pares
e
,
e
, e
e
são independentes. Vamos usar conceitos de probabilidade e independência de eventos para resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa os eventos serem independentes. Dois eventos
e
são independentes se a probabilidade de ambos acontecerem juntos é igual ao produto das probabilidades individuais deles. Ou seja:
Esse é o ponto de partida para mostrar a independência dos outros pares.
Passo 3
Vamos agora mostrar que
e
são independentes. Primeiramente, sabemos que:
Como
e
são independentes, substituímos
por
:
Isso mostra que:
Portanto,
e
são independentes.
Passo 4
Agora, vamos verificar a independência de
e
. De maneira similar:
Substituindo
por
:
Assim, temos:
Logo,
e
também são independentes.
Passo 5
Por último, vamos mostrar que
e
são independentes. Observamos que:
Usando a fórmula da união de dois eventos:
Como
e
são independentes:
Então:
Dessa forma:
Isso confirma que
e
são independentes.
Resposta
Assim, mostramos que se
e
são independentes, então
e
,
e
, e
e
também são independentes.