Classificar e dar o centro das seguintes superfícies
d. 2 x^2-2 y^2-3 z^2+16 y+z=9
Hiperboloide de uma folha; C=(0,4, 16)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para classificar a superfície dada pela equação e encontrar o centro dessa superfície. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre os quadricas, que são superfícies definidas por equações do segundo grau em três variáveis. Precisamos reorganizar a equação para identificar de que tipo de superfície estamos lidando e determinar o seu centro.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para completar o quadrado nos termos de 2x^2 - 2y^2 - 3z^2 + 16y + z = 9 e . Isso facilita identificar a forma padrão da superfície.
A equação original é:

Passo 3

Vamos isolar os termos com -2y^2 + 16y - 3z^2 + z + 2x^2 = 9 e :

Passo 4

Agora, completamos o quadrado para os termos de -2(y^2 - 8y):
-2(y^2 - 8y + 16 - 16) = -2((y - 4)^2 - 16) = -2(y - 4)^2 + 32
Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos :

Passo 5

Fazemos o mesmo para o termo de -3z^2 + z = -3(z^2 - 13z):
-3(z^2 - 13z + (16)^2 - (16)^2) = -3((z - 16)^2 - 136) = -3(z - 16)^2 + 112
Completando o quadrado:

Passo 6

Substituímos de volta na equação original:
-2(y - 4)^2 + 32 - 3(z - 16)^2 + 112 + 2x^2 = 9
Simplificamos os constantes:
2x^2 - 2(y - 4)^2 - 3(z - 16)^2 + 32 + 112 = 9
2x^2 - 2(y - 4)^2 - 3(z - 16)^2 = 9 - 32 - 112
2x^2 - 2(y - 4)^2 - 3(z - 16)^2 = -23 - 112 = -27712

Passo 7

Dividimos ambos os lados por 2x^227712 - 2(y - 4)^227712 - 3(z - 16)^227712 = 1 para obter a forma padrão:
x^227724 - (y - 4)^227724 - (z - 16)^227736 = 1
Simplificando:

Passo 8

Observamos que a equação está na forma de um hiperboloide de uma folha, que tem a equação geral:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 - (z - l)^2c^2 = 1
Comparando com a nossa equação, identificamos que:
  • O centro é

Resposta

A superfície é um hiperboloide de uma folha com centro em .

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