Classificar e dar o centro das seguintes superfícies
d.
Hiperboloide de uma folha;
d.
Hiperboloide de uma folha;
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para classificar a superfície dada pela equação
e encontrar o centro dessa superfície. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre os quadricas, que são superfícies definidas por equações do segundo grau em três variáveis. Precisamos reorganizar a equação para identificar de que tipo de superfície estamos lidando e determinar o seu centro.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para completar o quadrado nos termos de
e
. Isso facilita identificar a forma padrão da superfície.
A equação original é:
Passo 3
Vamos isolar os termos com
e
:
Passo 4
Agora, completamos o quadrado para os termos de
:
Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos
:
Passo 5
Fazemos o mesmo para o termo de
:
Completando o quadrado:
Passo 6
Substituímos de volta na equação original:
Simplificamos os constantes:
Passo 7
Dividimos ambos os lados por
para obter a forma padrão:
Simplificando:
Passo 8
Observamos que a equação está na forma de um hiperboloide de uma folha, que tem a equação geral:
Comparando com a nossa equação, identificamos que:
- O centro
é
Resposta
A superfície é um hiperboloide de uma folha com centro em
.