Identifique e esboce a cônica, conhecendo sua equação. Use o método de completamento de quadrados. 2 y^2-8 y-6 x+8=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação que envolve e . O conteúdo que vamos usar para resolver isso é o estudo das cônicas, que são curvas como círculos, elipses, parábolas e hipérboles. Para identificar qual delas estamos lidando e desenhar o esboço, vamos usar o método de completamento de quadrados. Esse método vai nos ajudar a reescrever a equação de uma forma mais fácil de entender e identificar a cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para organizar os termos de 2y^2 - 8y - 6x + 8 = 0 e 2y^2 - 8y = 6x - 8 :
Nosso objetivo é completar o quadrado nos termos de . Para facilitar, vamos isolar os termos que envolvem :

Passo 3

Agora, vamos fatorar o coeficiente de 2(y^2 - 4y) = 6x - 8 , que é 2:
y^2 - 4y + 4 - 4 = (y - 2)^2 - 4
Para completar o quadrado dentro dos parênteses, precisamos adicionar e subtrair o mesmo valor. A fórmula para completar o quadrado de 2[(y - 2)^2 - 4] = 6x - 8 é:
Então, substituindo na equação:

Passo 4

Vamos distribuir o 2 dentro do par��nteses:
2(y - 2)^2 - 8 = 6x - 8
Agora, vamos somar 8 em ambos os lados para simplificar:
2(y - 2)^2 = 6x

Passo 5

Para isolar x = 26(y - 2)^2 , dividimos ambos os lados por 6:
x = 13(y - 2)^2
Simplificando a fração:

Passo 6

Agora, a equação está na forma padrão de uma parábola horizontal, que é:
x = a(y - k)^2 + h
Comparando com a nossa equação:
x = 13(y - 2)^2 + 0
Podemos ver que:
  • O vértice da parábola está em .
  • O valor de indica que a parábola está aberta para a direita e sua largura está relacionada a .

Resposta

A equação representa uma parábola horizontal com vértice no ponto e abertuda para a direita. O esboço da cônica será uma parábola que se abre para a direita a partir do vértice situado em .

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