Classificar e dar o centro das seguintes superfícies
c. 4 x^2+4 y^2-3 z^2+x-y+z=0
Hiperboloide de uma folha; C=(-18, 18, 16)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para classificar e determinar o centro da superfície dada pela equação:
4x^2 + 4y^2 - 3z^2 + x - y + z = 0
Para resolver isso, vamos precisar entender superfícies quadráticas e como identificar cada tipo delas. Vamos precisar completar o quadrado para encontrar o centro da superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de mesma variável:
4x^2 + x + 4y^2 - y - 3z^2 + z = 0
Isso facilita o processo de completar o quadrado para cada variável.

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para cada variável separadamente.
Para o x:
4x^2 + x = 4(x^2 + 14x)
Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos (18)^2 = 164 dentro do parêntese:
4(x^2 + 14x + 164 - 164) = 4((x + 18)^2 - 164)
Simplificando:
4(x + 18)^2 - 116
Para o y:
4y^2 - y = 4(y^2 - 14y)
Completando o quadrado:
4(y^2 - 14y + 164 - 164) = 4((y - 18)^2 - 164)
Simplificando:
4(y - 18)^2 - 116
Para o z:
-3z^2 + z = -3(z^2 - 13z)
Completando o quadrado:
-3(z^2 - 13z + 136 - 136) = -3((z - 16)^2 - 136)
Simplificando:
-3(z - 16)^2 + 112

Passo 4

Agora, vamos substituir essas expressões de volta na equação original:
4(x + 18)^2 - 116 + 4(y - 18)^2 - 116 - 3(z - 16)^2 + 112 = 0
Vamos somar as constantes:
- 116 - 116 + 112 = -216 + 112 = -18 + 112 = -324 + 224 = -124
Então, a equação fica:
4(x + 18)^2 + 4(y - 18)^2 - 3(z - 16)^2 = 124

Passo 5

Para simplificar ainda mais, vamos dividir ambos os lados da equação por 124:
4(x + 18)^2 cdot 24 + 4(y - 18)^2 cdot 24 - 3(z - 16)^2 cdot 24 = 1
Calculando:
96(x + 18)^2 + 96(y - 18)^2 - 72(z - 16)^2 = 1
Podemos então reescrever a equação na forma padrão das superfícies quadráticas.

Passo 6

Observando a forma final da equação, percebemos que os termos de x e y são positivos e o termo de z é negativo. Isso caracteriza uma superfície do tipo hiperboloide de uma folha.
Além disso, o centro da superfície é dado pelas constantes dentro dos parênteses das variáveis, ou seja:
C = (-18, 18, 16)

Resposta

A superfície é um Hiperboloide de uma folha e seu centro é C = (-18, 18, 16).

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