Classificar e dar o centro das seguintes superfícies
c.
Hiperboloide de uma folha;
c.
Hiperboloide de uma folha;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para classificar e determinar o centro da superfície dada pela equação:
Para resolver isso, vamos precisar entender superfícies quadráticas e como identificar cada tipo delas. Vamos precisar completar o quadrado para encontrar o centro da superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de mesma variável:
Isso facilita o processo de completar o quadrado para cada variável.
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para cada variável separadamente.
Para o x:
Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos
dentro do parêntese:
Simplificando:
Para o y:
Completando o quadrado:
Simplificando:
Para o z:
Completando o quadrado:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas expressões de volta na equação original:
Vamos somar as constantes:
Então, a equação fica:
Passo 5
Para simplificar ainda mais, vamos dividir ambos os lados da equação por
:
Calculando:
Podemos então reescrever a equação na forma padrão das superfícies quadráticas.
Passo 6
Observando a forma final da equação, percebemos que os termos de
e
são positivos e o termo de
é negativo. Isso caracteriza uma superfície do tipo hiperboloide de uma folha.
Além disso, o centro da superfície é dado pelas constantes dentro dos parênteses das variáveis, ou seja:
Resposta
A superfície é um Hiperboloide de uma folha e seu centro é
.