Para os paraboloides abaixo determine a interseção com o plano
, indicando quais representam paraboloides simples ou hiperbólico.
a.
Paraboloide Simples
a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para encontrar a interseção de um paraboloide com o plano
. Além disso, precisamos identificar se o paraboloide é simples ou hiperbólico. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies quadráticas e como elas se comportam ao cortar planos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um paraboloide simples e um paraboloide hiperbólico.
-
Paraboloide Simples: Tem a forma de uma parábola e sua seção transversal paralela a um dos eixos é uma parábola. Exemplo:
. -
Paraboloide Hiperbólico: Tem a forma de uma sela e suas seções transversais paralelas a cada eixo resultam em parábolas e hipérboles. Exemplo:
.
No nosso caso, a equação do paraboloide é:
Passo 3
Para encontrar a interseção com o plano
, substituímos
por
na equação do paraboloide:
Simplificando:
Podemos reescrever isso como:
Passo 4
Agora, vamos analisar essa equação resultante:
Aqui, vemos que
está isolado, e
está proporcional a
. Isso caracteriza uma parábola em relação ao eixo
. Então, a interseção do paraboloide com o plano
é uma parábola.
Passo 5
Como a interseção resultou em uma parábola, isso indica que o paraboloide original é um Paraboloide Simples. Se tivesse sido uma hipérbole, a interseção teria sido uma hipérbole.
Resposta
A interseção do paraboloide
com o plano
é a parábola
. Portanto, o paraboloide é simples.