Para os paraboloides abaixo determine a interseção com o plano x=-1, indicando quais representam paraboloides simples ou hiperbólico.
a. x^29+z^24=y
z^24=y-19 Paraboloide Simples

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para encontrar a interseção de um paraboloide com o plano . Além disso, precisamos identificar se o paraboloide é simples ou hiperbólico. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies quadráticas e como elas se comportam ao cortar planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um paraboloide simples e um paraboloide hiperbólico.
  • Paraboloide Simples: Tem a forma de uma parábola e sua seção transversal paralela a um dos eixos é uma parábola. Exemplo: x^29 + z^24 = y .
  • Paraboloide Hiperbólico: Tem a forma de uma sela e suas seções transversais paralelas a cada eixo resultam em parábolas e hipérboles. Exemplo: .
No nosso caso, a equação do paraboloide é:

Passo 3

Para encontrar a interseção com o plano (-1)^29 + z^24 = y , substituímos 19 + z^24 = y por z^24 = y - 19 na equação do paraboloide:
Simplificando:
Podemos reescrever isso como:

Passo 4

Agora, vamos analisar essa equação resultante:
z^24 = y - 19
Aqui, vemos que está isolado, e está proporcional a . Isso caracteriza uma parábola em relação ao eixo . Então, a interseção do paraboloide com o plano é uma parábola.

Passo 5

Como a interseção resultou em uma parábola, isso indica que o paraboloide original é um Paraboloide Simples. Se tivesse sido uma hipérbole, a interseção teria sido uma hipérbole.

Resposta

A interseção do paraboloide com o plano é a parábola . Portanto, o paraboloide é simples.

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