Classificar e dar o centro das seguintes superfícies
b. x^2-3 y^2-z^2+4 x-6 y+5 z+9=0
Hiperboloide de uma folha; C=(-2,-1, 52)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a equação e precisamos classificar a superfície que ela representa e encontrar o centro dessa superfície. Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre quadricas, que são superfícies definidas por equações de segundo grau em três dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar a identificação da superfície. Isso envolve agrupar os termos semelhantes e completar o quadrado para cada variável.
A equação dada é:
x^2 - 3y^2 - z^2 + 4x - 6y + 5z + 9 = 0
Vamos reescrever agrupando os termos de (x^2 + 4x) - 3(y^2 + 2y) - (z^2 - 5z) + 9 = 0 , e :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para cada variável. Completar o quadrado nos ajuda a transformar a equação geral em uma forma padrão que facilita a identificação da superfície.
Para o termo de x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4 :
y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1
Para o termo de -3(y^2 + 2y) = -3[(y + 1)^2 - 1] = -3(y + 1)^2 + 3 :
z^2 - 5z = (z - 52)^2 - 254
Como está multiplicado por -3:
-(z^2 - 5z) = - (z - 52)^2 + 254
Para o termo de :
Considerando o sinal negativo:

Passo 4

Substituindo as expressões completadas na equação original:
(x + 2)^2 - 4 - 3(y + 1)^2 + 3 - (z - 52)^2 + 254 + 9 = 0
Agora, vamos somar os constantes para simplificar:
(x + 2)^2 - 3(y + 1)^2 - (z - 52)^2 + (-4 + 3 + 254 + 9) = 0
-4 + 3 = -1
-1 + 9 = 8
8 + 254 = 324 + 254 = 574
Então:
(x + 2)^2 - 3(y + 1)^2 - (z - 52)^2 + 574 = 0
Vamos isolar os termos quadráticos:
(x + 2)^2 - 3(y + 1)^2 - (z - 52)^2 = -574
Multiplicando ambos os lados por - (x + 2)^2 + 3(y + 1)^2 + (z - 52)^2 = 574 para deixar os termos com coeficientes positivos:

Passo 5

Agora, vamos dividir a equação por -(x + 2)^2574 + 3(y + 1)^2574 + (z - 52)^2574 = 1 para obter a forma padrão da equação da quadrica:
(x + 2)^2574 - 3(y + 1)^2574 - (z - 52)^2574 = -1
Simplificando os denominadores:
(x + 2)^2a^2 - 3(y + 1)^2a^2 - (z - 52)^2a^2 = -1
Para facilitar, podemos reescrever a equação de forma mais clara:
onde .
Isso nos leva à forma padrão de um hiperboloide de uma folha.

Resposta

A equação representa um Hiperboloide de uma folha. O centro dessa superfície está no ponto .

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