Classificar e dar o centro das seguintes superfícies
b.
Hiperboloide de uma folha;
b.
Hiperboloide de uma folha;
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a equação
e precisamos classificar a superfície que ela representa e encontrar o centro dessa superfície. Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre quadricas, que são superfícies definidas por equações de segundo grau em três dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar a identificação da superfície. Isso envolve agrupar os termos semelhantes e completar o quadrado para cada variável.
A equação dada é:
Vamos reescrever agrupando os termos de
,
e
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para cada variável. Completar o quadrado nos ajuda a transformar a equação geral em uma forma padrão que facilita a identificação da superfície.
Para o termo de
:
Para o termo de
:
Como está multiplicado por -3:
Para o termo de
:
Considerando o sinal negativo:
Passo 4
Substituindo as expressões completadas na equação original:
Agora, vamos somar os constantes para simplificar:
Então:
Vamos isolar os termos quadráticos:
Multiplicando ambos os lados por
para deixar os termos com coeficientes positivos:
Passo 5
Agora, vamos dividir a equação por
para obter a forma padrão da equação da quadrica:
Simplificando os denominadores:
Para facilitar, podemos reescrever a equação de forma mais clara:
onde
.
Isso nos leva à forma padrão de um hiperboloide de uma folha.
Resposta
A equação
representa um Hiperboloide de uma folha. O centro dessa superfície está no ponto
.