Classificar e dar o centro das seguintes superfícies
a. x^2+2 y^2-z^2+5 x-3 y+10=0
Hiperboloide de duas folhas; C=(-52, 34, 0)

Passo 1

Beleza, então a gente tem que classificar a superfície dada pela equação e também encontrar o centro dessa superfície. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica para resolver isso. Precisamos completar os quadrados para identificar o tipo de superfície e descobrir as coordenadas do centro.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de cada variável:
x^2 + 5x + 2y^2 - 3y - z^2 + 10 = 0

Passo 3

Agora, vamos completar os quadrados para as variáveis x^2 + 5x = (x + 52)^2 - (52)^2 = (x + 52)^2 - 254 e 2y^2 - 3y = 2(y^2 - 32y) .
Para y^2 - 32y = (y - 34)^2 - (34)^2 = (y - 34)^2 - 916 :
2y^2 - 3y = 2(y - 34)^2 - 98
Para :
Primeiro, fatoramos o coeficiente de :
Agora, completamos o quadrado dentro do parênteses:
Então:

Passo 4

Substituindo de volta na equação original:
(x + 52)^2 - 254 + 2(y - 34)^2 - 98 - z^2 + 10 = 0

Passo 5

Vamos simplificar os termos constantes:
-254 - 98 + 10 = -508 - 98 + 808 = 218
Então, a equação fica:
(x + 52)^2 + 2(y - 34)^2 - z^2 + 218 = 0

Passo 6

Isolando os termos quadráticos:
(x + 52)^2 + 2(y - 34)^2 - z^2 = -218
Para tornar a equação mais familiar, multiplicamos ambos os lados por -1:
-(x + 52)^2 - 2(y - 34)^2 + z^2 = 218
Reorganizando:
z^2 - (x + 52)^2 - 2(y - 34)^2 = 218

Passo 7

Comparando com a forma padrão de um hiperboloide de duas folhas:
z^2a^2 - (x - h)^2b^2 - (y - k)^2c^2 = 1
Podemos ver que nossa equação se encaixa nessa forma. Portanto, a superfície é um hiperboloide de duas folhas.

Passo 8

O centro da superfície C = (-52, 34, 0) é dado pelas coordenadas que completamos nos quadrados:

Resposta

A superfície é um hiperboloide de duas folhas e o centro dessa superfície é .

Exercícios relacionados

Para os hiperboloides abaixo verifique quantas folhas eles possuem, sua intercessão com o plano x=10 e as interseções com os eixos coordenados.
c. 3 x^2+9 y^2-5 z^2=4
Uma folha; Traço x=10:-y^22969+z^22965=1 ç
I^prime=(0, pm 23, 0) I^prime prime=( pm 2raiz3, 0,0)
Para os hiperboloides abaixo verifique quantas folhas eles possuem, sua intercessão com o plano x=10 e as interseções com os eixos coordenados.
Duas folhas; Traço x=10:-y^2234=z^250=1
I^prime=(0, pm 3,0)
Seja f: X Y uma função e sejam A, A^prime subset X e B, B^prime subset Y. Prove que:
A subset A^prime Rightarrow f(A) subset f(A) ; B subset B^prime Rightarrow f^-1(B) subset f^-1(B^prime).
Classificar e dar o centro das seguintes superfícies
b. x^2-3 y^2-z^2+4 x-6 y+5 z+9=0
Hiperboloide de uma folha; C=(-2,-1, 52)