Classificar e dar o centro das seguintes superfícies
a.
Hiperboloide de duas folhas;
a.
Hiperboloide de duas folhas;
Passo 1
Beleza, então a gente tem que classificar a superfície dada pela equação
e também encontrar o centro dessa superfície. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica para resolver isso. Precisamos completar os quadrados para identificar o tipo de superfície e descobrir as coordenadas do centro.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de cada variável:
Passo 3
Agora, vamos completar os quadrados para as variáveis
e
.
Para
:
Para
:
Primeiro, fatoramos o coeficiente de :
Primeiro, fatoramos o coeficiente de
Agora, completamos o quadrado dentro do parênteses:
Então:
Passo 4
Substituindo de volta na equação original:
Passo 5
Vamos simplificar os termos constantes:
Então, a equação fica:
Passo 6
Isolando os termos quadráticos:
Para tornar a equação mais familiar, multiplicamos ambos os lados por -1:
Reorganizando:
Passo 7
Comparando com a forma padrão de um hiperboloide de duas folhas:
Podemos ver que nossa equação se encaixa nessa forma. Portanto, a superfície é um hiperboloide de duas folhas.
Passo 8
O centro da superfície
é dado pelas coordenadas que completamos nos quadrados:
Resposta
A superfície é um hiperboloide de duas folhas e o centro dessa superfície é
.
Exercícios relacionados
Para os hiperboloides abaixo verifique quantas folhas eles possuem, sua intercessão com o plano
e as interseções com os eixos coordenados.
c.
c.
Para os hiperboloides abaixo verifique quantas folhas eles possuem, sua intercessão com o plano
e as interseções com os eixos coordenados.
Duas folhas; Traço
Duas folhas; Traço
Seja
uma função e sejam
e
. Prove que:
.
Classificar e dar o centro das seguintes superfícies
b.
Hiperboloide de uma folha;
b.
Hiperboloide de uma folha;