Seja
uma função e sejam
e
. Prove que:
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Estamos lidando com funções entre conjuntos e queremos provar duas coisas sobre como as imagens e pré-imagens se comportam quando temos inclusões de subconjuntos. Especificamente, precisamos mostrar que:
- Se
, então . - Se
, então .
Para isso, vamos usar os conceitos de imagem e pré-imagem de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que se
, então
.
Imagem de um Conjunto:
A imagem de um conjunto pela função
, denotada por
, é o conjunto de todos os elementos em
que são resultados da aplicação de
aos elementos de
. Formalmente:
A imagem de um conjunto
Prova:
-
Assumimos que
: Isso significa que todo elemento que está em também está em . -
Tomamos um elemento qualquer
em : Por definição, existe algum tal que . -
Como
, então : Portanto, também está em . -
Conclusão: Todo
em está em , ou seja, .
Passo 3
Agora, vamos provar que se
, então
.
Pré-imagem de um Conjunto:
A pré-imagem de um conjunto pela função
, denotada por
, é o conjunto de todos os elementos em
que são mapeados para elementos de
por
. Formalmente:
A pré-imagem de um conjunto
Prova:
-
Assumimos que
: Isso significa que todo elemento que está em também está em . -
Tomamos um elemento qualquer
em : Por definição, . -
Como
, então : Portanto, . -
Conclusão: Todo
em está em , ou seja, .
Resposta
Assim, demonstramos que:
- Se
, então . - Se
, então .