Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Estamos lidando com funções entre conjuntos e queremos provar duas coisas sobre como as imagens e pré-imagens se comportam quando temos inclusões de subconjuntos. Especificamente, precisamos mostrar que:
Se , então .
Se , então .
Para isso, vamos usar os conceitos de imagem e pré-imagem de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que se , então .
Imagem de um Conjunto:
A imagem de um conjunto pela função , denotada por , é o conjunto de todos os elementos em que são resultados da aplicação de aos elementos de . Formalmente:
Prova:
Assumimos que : Isso significa que todo elemento que está em também está em .
Tomamos um elemento qualquer em : Por definição, existe algum tal que .
Como , então : Portanto, também está em .
Conclusão: Todo em está em , ou seja, .
Passo 3
Agora, vamos provar que se , então .
Pré-imagem de um Conjunto:
A pré-imagem de um conjunto pela função , denotada por , é o conjunto de todos os elementos em que são mapeados para elementos de por . Formalmente:
Prova:
Assumimos que : Isso significa que todo elemento que está em também está em .
Tomamos um elemento qualquer em : Por definição, .