Seja f: X Y uma função e sejam A, A^prime subset X e B, B^prime subset Y. Prove que:
A subset A^prime Rightarrow f(A) subset f(A) ; B subset B^prime Rightarrow f^-1(B) subset f^-1(B^prime).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Estamos lidando com funções entre conjuntos e queremos provar duas coisas sobre como as imagens e pré-imagens se comportam quando temos inclusões de subconjuntos. Especificamente, precisamos mostrar que:
  1. Se , então .
  2. Se , então .
Para isso, vamos usar os conceitos de imagem e pré-imagem de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que se f(A) = f(x) mid x in A , então .
Imagem de um Conjunto:
A imagem de um conjunto pela função , denotada por , é o conjunto de todos os elementos em que são resultados da aplicação de aos elementos de . Formalmente:
Prova:
  1. Assumimos que : Isso significa que todo elemento que está em também está em .
  2. Tomamos um elemento qualquer em : Por definição, existe algum tal que .
  3. Como , então : Portanto, também está em .
  4. Conclusão: Todo em está em , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos provar que se f^-1(B) = x in X mid f(x) in B , então .
Pré-imagem de um Conjunto:
A pré-imagem de um conjunto pela função , denotada por , é o conjunto de todos os elementos em que são mapeados para elementos de por . Formalmente:
Prova:
  1. Assumimos que : Isso significa que todo elemento que está em também está em .
  2. Tomamos um elemento qualquer em : Por definição, .
  3. Como , então : Portanto, .
  4. Conclusão: Todo em está em , ou seja, .

Resposta

Assim, demonstramos que:
  1. Se , então .
  2. Se , então .

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