Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
Toda sequência alternada é divergente;

Passo 1

Vamos lá! A afirmação que vamos analisar é: “Toda sequência alternada é divergente.” Estamos trabalhando com sequências numéricas, mais especificamente com sequências alternadas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma sequência alternada e verificar se realmente todas elas divergem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma sequência alternada. Uma sequência é chamada de alternada quando os seus termos mudam de sinal a cada posição. Isso geralmente é representado por:
Onde é uma sequência de números positivos.

Passo 3

Agora, vamos analisar se toda sequência alternada é divergente. Uma sequência é divergente se ela não tem um limite finito. Porém, nem toda sequência alternada se comporta assim.

Passo 4

Vamos dar um contra-exemplo para mostrar que nem toda sequência alternada é divergente. Considere a sequência:
Aqui, , que é uma sequência que tende a 0 quando cresce.

Passo 5

Vamos verificar o limite dessa sequência:
Apesar de os termos alternarem de sinal, o valor absoluto dos termos está diminuindo para 0. Portanto, a sequência converge para 0.

Resposta

Falso. A sequência é uma sequência alternada que converge para 0, demonstrando que nem toda sequência alternada é divergente.

Exercícios relacionados

Considere a sequência definida por e .
c) Ela é monótona? Justifique sua resposta!
Determinar , sendo:
(a) e é a esfera .
Descreva os conjuntos abaixo na forma enumerativa:
Determinar , sendo:
© e é a fronteira do sólido 1 e , com vetor normal exterior.