Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
Toda sequência alternada é divergente;
Toda sequência alternada é divergente;
Passo 1
Vamos lá! A afirmação que vamos analisar é: “Toda sequência alternada é divergente.” Estamos trabalhando com sequências numéricas, mais especificamente com sequências alternadas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma sequência alternada e verificar se realmente todas elas divergem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma sequência alternada. Uma sequência é chamada de alternada quando os seus termos mudam de sinal a cada posição. Isso geralmente é representado por:
Onde
é uma sequência de números positivos.
Passo 3
Agora, vamos analisar se toda sequência alternada é divergente. Uma sequência é divergente se ela não tem um limite finito. Porém, nem toda sequência alternada se comporta assim.
Passo 4
Vamos dar um contra-exemplo para mostrar que nem toda sequência alternada é divergente. Considere a sequência:
Aqui,
, que é uma sequência que tende a 0 quando
cresce.
Passo 5
Vamos verificar o limite dessa sequência:
Apesar de os termos alternarem de sinal, o valor absoluto dos termos está diminuindo para 0. Portanto, a sequência converge para 0.
Resposta
Falso. A sequência
é uma sequência alternada que converge para 0, demonstrando que nem toda sequência alternada é divergente.
Exercícios relacionados
Considere a sequência
definida por
e
.
c) Ela é monótona? Justifique sua resposta!
c) Ela é monótona? Justifique sua resposta!
Determinar
, sendo:
(a) e
é a esfera
.
(a)
Descreva os conjuntos abaixo na forma enumerativa:
Determinar
, sendo:
© e
é a fronteira do sólido
1 e
, com vetor normal
exterior.
©