Determinar integral duplaSlang<= F, nrang<= d s, sendo:
© F(x, y, z)=(x, y, z) e S é a fronteira do sólido W=(x, y, z) in R^3 ; x^2+y^2 <= 1 e x^2+y^2+z^2 <= 4, com vetor normal n exterior.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para calcular a integral de superfície integral duplaSlang<= F, nrang<= d s, onde o campo vetorial F(x, y, z) = (x, y, z) e S é a fronteira do sólido W definido por x^2+y^2 <= 1 e x^2+y^2+z^2 <= 4. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície com uma integral de volume. Precisamos entender como aplicar esse teorema e calcular o volume do sólido W.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que:
integral duplaS lang<= F, n rang<= dS = integral triplaW nabla cdot F , dV
Onde:
  • nabla cdot F é a divergência do campo vetorial F.
  • dV é o elemento de volume.

Passo 3

Vamos calcular a divergência do campo F. Para um campo vetorial F(x, y, z) = (Fx, Fy, Fz), a divergência é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
No nosso caso, F(x, y, z) = (x, y, z), então:
nabla cdot F = partial xpartial x + partial ypartial y + partial zpartial z = 1 + 1 + 1 = 3

Passo 4

Agora que temos a divergência, a integral de superfície se transforma em:
integral duplaS lang<= F, n rang<= dS = integral triplaW 3 , dV = 3 integral triplaW dV
Isso significa que precisamos calcular o volume do sólido W.

Passo 5

Vamos descrever o sólido W. Ele é definido por:
  • Um cilindro: x^2 + y^2 <= 1
  • Uma esfera: x^2 + y^2 + z^2 <= 4
Então, W é a região onde o cilindro está dentro da esfera. Para calcular o volume, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são mais adequadas para esse tipo de região.

Passo 6

Em coordenadas cilíndricas, temos:
  • x = r cos theta
  • y = r sin theta
  • z = z
  • O elemento de volume dV = r , dz , dtheta , dr
As condições do sólido W se traduzem em:
  • 0 <= r <= 1 (devido ao cilindro)
  • 0 <= theta <= 2pi
  • Para cada r, z varia de -raiz4 - r^2 a raiz4 - r^2 (do limite da esfera)

Passo 7

Montando a integral de volume:
integral triplaW dV = integral0^1 integral0^2pi integral-raiz4 - r^2^raiz4 - r^2 r , dz , dtheta , dr
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 8

Primeiro, integramos em z:
integral-raiz4 - r^2^raiz4 - r^2 dz = 2raiz4 - r^2
Então, a integral de volume fica:
integral triplaW dV = integral0^1 integral0^2pi 2raiz4 - r^2 cdot r , dtheta , dr

Passo 9

Agora, integramos em theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi
Portanto:
integral triplaW dV = 2pi integral0^1 2r raiz4 - r^2 , dr = 4pi integral0^1 r raiz4 - r^2 , dr

Passo 10

Vamos resolver a integral em r:
integral0^1 r raiz4 - r^2 , dr
Fazendo uma substituição:
  • Seja u = 4 - r^2, então du = -2r , dr ou -du/2 = r , dr
Mudando os limites:
  • Quando r = 0, u = 4
  • Quando r = 1, u = 3
A integral fica:
integral4^3 raizu cdot (-du2) = 12 integral3^4 raizu , du
Integrando:
12 cdot [ 23 u^3/2 ]3^4 = 13 (4^3/2 - 3^3/2) = 13 (8 - 3raiz3)

Passo 11

Voltando à integral de volume:
integral triplaW dV = 4pi cdot 13 (8 - 3raiz3) = 4pi3 (8 - 3raiz3) = 32pi3 - 4piraiz3

Passo 12

Finalmente, aplicando o Teorema da Divergência:
integral duplaS lang<= F, n rang<= dS = 3 integral triplaW dV = 3 ( 32pi3 - 4piraiz3 ) = 32pi - 12piraiz3

Resposta

integral duplaS lang<= F, n rang<= d s = 32pi - 12piraiz3

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