Determinar
, sendo:
©
e
é a fronteira do sólido
1 e
, com vetor normal
exterior.
©
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para calcular a integral de superfície
, onde o campo vetorial
e
é a fronteira do sólido
definido por
e
. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície com uma integral de volume. Precisamos entender como aplicar esse teorema e calcular o volume do sólido
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que:
Onde:
-
é a divergência do campo vetorial . -
é o elemento de volume.
Passo 3
Vamos calcular a divergência do campo
. Para um campo vetorial
, a divergência é dada por:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Agora que temos a divergência, a integral de superfície se transforma em:
Isso significa que precisamos calcular o volume do sólido
.
Passo 5
Vamos descrever o sólido
. Ele é definido por:
- Um cilindro:
- Uma esfera:
Então,
é a região onde o cilindro está dentro da esfera. Para calcular o volume, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são mais adequadas para esse tipo de região.
Passo 6
Em coordenadas cilíndricas, temos:
-
-
-
- O elemento de volume
As condições do sólido
se traduzem em:
-
(devido ao cilindro) -
- Para cada
, varia de a (do limite da esfera)
Passo 7
Montando a integral de volume:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 8
Primeiro, integramos em
:
Então, a integral de volume fica:
Passo 9
Agora, integramos em
:
Portanto:
Passo 10
Vamos resolver a integral em
:
Fazendo uma substituição:
- Seja
, então ou
Mudando os limites:
- Quando
, - Quando
,
A integral fica:
Integrando:
Passo 11
Voltando à integral de volume:
Passo 12
Finalmente, aplicando o Teorema da Divergência:
Resposta
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