Determinar , sendo:
© e é a fronteira do sólido 1 e , com vetor normal exterior.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para calcular a integral de superfície , onde o campo vetorial e é a fronteira do sólido definido por e . Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície com uma integral de volume. Precisamos entender como aplicar esse teorema e calcular o volume do sólido .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que:
Onde:
  • é a divergência do campo vetorial .
  • é o elemento de volume.

Passo 3

Vamos calcular a divergência do campo . Para um campo vetorial , a divergência é dada por:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Agora que temos a divergência, a integral de superfície se transforma em:
Isso significa que precisamos calcular o volume do sólido .

Passo 5

Vamos descrever o sólido . Ele é definido por:
  • Um cilindro:
  • Uma esfera:
Então, é a região onde o cilindro está dentro da esfera. Para calcular o volume, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são mais adequadas para esse tipo de região.

Passo 6

Em coordenadas cilíndricas, temos:
  • O elemento de volume
As condições do sólido se traduzem em:
  • (devido ao cilindro)
  • Para cada , varia de a (do limite da esfera)

Passo 7

Montando a integral de volume:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 8

Primeiro, integramos em :
Então, a integral de volume fica:

Passo 9

Agora, integramos em :
Portanto:

Passo 10

Vamos resolver a integral em :
Fazendo uma substituição:
  • Seja , então ou
Mudando os limites:
  • Quando ,
  • Quando ,
A integral fica:
Integrando:

Passo 11

Voltando à integral de volume:

Passo 12

Finalmente, aplicando o Teorema da Divergência:

Resposta

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Descreva os conjuntos abaixo na forma enumerativa:
Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
Toda sequência alternada é divergente;
Descreva os conjuntos abaixo na forma predicativa (atenção, as respostas ao final da lista não são as únicas possíveis):
é
Prove, usando a definição, que: