Considere a sequência definida por e .
c) Ela é monótona? Justifique sua resposta!

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! A questão nos apresenta uma sequência definida por e, para cada termo seguinte, temos . A pergunta é: essa sequência é monótona? Para responder isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser monótona e verificar se essa propriedade se aplica à nossa sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência monótona. Uma sequência é monótona crescente se cada termo é maior ou igual ao anterior, ou seja, para todo . Por outro lado, é monótona decrescente se cada termo é menor ou igual ao anterior, ou seja, para todo . Se a sequência for estritamente crescente ou decrescente (sem repetição de termos), ela também é considerada monótona.

Passo 3

Vamos investigar se nossa sequência é crescente. Começamos comparando o segundo termo com o primeiro:
Vemos que . Agora, assumimos que e verificamos se isso implica .

Passo 4

Assumindo que , vamos ver :
Como a função é crescente, se , então , e tomando a raiz quadrada em ambos os lados, temos .

Passo 5

Como mostramos que e que, se , então , concluímos por indução que a sequência é monótona crescente.

Resposta

Sim, a sequência é monótona crescente, pois cada termo é maior ou igual ao anterior.

Exercícios relacionados

Determinar , sendo:
(a) e é a esfera .
Seja a sequência , dada por e .
a) Encontre os quatro primeiros termos desta sequência.
Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
Toda sequência alternada é divergente;
Descreva os conjuntos abaixo na forma enumerativa: