Considere a sequência {an}_{n ≥ 1} definida por a1 = raiz(2) e a_{n+1} = raiz(2 + a_n), n ≥ 1.
c) Ela é monótona? Justifique sua resposta!

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! A questão nos apresenta uma sequência definida por e, para cada termo seguinte, temos . A pergunta é: essa sequência é monótona? Para responder isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser monótona e verificar se essa propriedade se aplica à nossa sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência monótona. Uma sequência é monótona crescente se cada termo é maior ou igual ao anterior, ou seja, para todo n. Por outro lado, é monótona decrescente se cada termo é menor ou igual ao anterior, ou seja, para todo n. Se a sequência for estritamente crescente ou decrescente (sem repetição de termos), ela também é considerada monótona.

Passo 3

Vamos investigar se nossa sequência é crescente. Começamos comparando o segundo termo com o primeiro:
Vemos que . Agora, assumimos que e verificamos se isso implica .

Passo 4

Assumindo que , vamos ver a_{n+1}:
Como a função raiz(x) é crescente, se , então , e tomando a raiz quadrada em ambos os lados, temos .

Passo 5

Como mostramos que e que, se , então , concluímos por indução que a sequência é monótona crescente.

Resposta

Sim, a sequência é monótona crescente, pois cada termo é maior ou igual ao anterior.

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