Considere a sequência
definida por
e
.
c) Ela é monótona? Justifique sua resposta!
c) Ela é monótona? Justifique sua resposta!
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! A questão nos apresenta uma sequência definida por
e, para cada termo seguinte, temos
. A pergunta é: essa sequência é monótona? Para responder isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser monótona e verificar se essa propriedade se aplica à nossa sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência monótona. Uma sequência é monótona crescente se cada termo é maior ou igual ao anterior, ou seja,
para todo
. Por outro lado, é monótona decrescente se cada termo é menor ou igual ao anterior, ou seja,
para todo
. Se a sequência for estritamente crescente ou decrescente (sem repetição de termos), ela também é considerada monótona.
Passo 3
Vamos investigar se nossa sequência
é crescente. Começamos comparando o segundo termo com o primeiro:
Vemos que
. Agora, assumimos que
e verificamos se isso implica
.
Passo 4
Assumindo que
, vamos ver
:
Como a função
é crescente, se
, então
, e tomando a raiz quadrada em ambos os lados, temos
.
Passo 5
Como mostramos que
e que, se
, então
, concluímos por indução que a sequência
é monótona crescente.
Resposta
Sim, a sequência é monótona crescente, pois cada termo é maior ou igual ao anterior.