Determinar integral duplaS f(x, y, z) d s, sendo:
(a) f(x, y, z)=x^2+y^2 e S é a esfera x^2+y^2+z^2=a^2.

Passo 1

Vamos resolver a integral de superfície integral duplaS f(x, y, z) , d s, onde f(x, y, z) = x^2 + y^2 e S é a esfera x^2+y^2+z^2=a^2. Aqui, vamos aplicar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de superfície sobre uma esfera.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que a esfera S tem raio a e é centrada na origem. Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas, onde:
x = a sin theta cos phi
y = a sin theta sin phi
z = a cos theta
Aqui, theta varia de 0 a pi e phi de 0 a 2pi.

Passo 3

A expressão da integral de superfície em coordenadas esféricas fica:
integral duplaS f(x, y, z) , d s = integral0^2pi integral0^pi (x^2 + y^2) , a^2 sin theta , dtheta , dphi
Onde d s = a^2 sin theta , dtheta , dphi é o elemento de área na esfera.

Passo 4

Substituindo x e y em termos de theta e phi:
x^2 + y^2 = a^2 sin^2 theta (cos^2 phi + sin^2 phi) = a^2 sin^2 theta
Então, a integral fica:
integral duplaS f(x, y, z) , d s = integral0^2pi integral0^pi a^2 sin^2 theta cdot a^2 sin theta , dtheta , dphi = a^4 integral0^2pi integral0^pi sin^3 theta , dtheta , dphi

Passo 5

Calculamos a integral em theta primeiro:
integral0^pi sin^3 theta , dtheta
Sabemos que:
integral sin^n theta , dtheta = n-1n integral sin^n-2 theta , dtheta
Aplicando para n=3:
integral0^pi sin^3 theta , dtheta = 23 cdot 2 = 43

Passo 6

Agora, calculamos a integral em phi:
integral0^2pi dphi = 2pi

Passo 7

Multiplicando os resultados das integrais:
a^4 cdot 43 cdot 2pi = 83 pi a^4

Resposta

A integral de superfície é 83 pi a^4.

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