Determinar
, sendo:
(a)
e
é a esfera
.
(a)
Passo 1
Vamos resolver a integral de superfície
, onde
e
é a esfera
. Aqui, vamos aplicar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de superfície sobre uma esfera.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que a esfera
tem raio
e é centrada na origem. Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas, onde:
Aqui,
varia de
a
e
de
a
.
Passo 3
A expressão da integral de superfície em coordenadas esféricas fica:
Onde
é o elemento de área na esfera.
Passo 4
Substituindo
e
em termos de
e
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Calculamos a integral em
primeiro:
Sabemos que:
Aplicando para
:
Passo 6
Agora, calculamos a integral em
:
Passo 7
Multiplicando os resultados das integrais:
Resposta
A integral de superfície é
.
Exercícios relacionados
Seja a sequência
, dada por
e
.
a) Encontre os quatro primeiros termos desta sequência.
a) Encontre os quatro primeiros termos desta sequência.
Seja
a superfície parametrizada por
(b) Determine a equação do plano tangente à
no ponto
.
Considere a sequência
definida por
e
.
c) Ela é monótona? Justifique sua resposta!
c) Ela é monótona? Justifique sua resposta!
Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
Toda sequência alternada é divergente;
Toda sequência alternada é divergente;