Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ou falsa dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
(d) ( ) Se e divergem, então converge;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas séries infinitas, e , que ambas divergem. A afirmação sugere que, se essas duas séries divergem, então a série do produto necessariamente converge. Nosso objetivo é verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série divergir ou convergir. Uma série converge se a soma dos seus termos tende a um valor finito quando somamos infinitos termos. Caso contrário, ela diverge.

Passo 3

Para analisar a afirmação, precisamos verificar se sempre que duas séries divergem, o produto de seus termos resulta em uma série que converge. Se conseguirmos encontrar um exemplo onde duas séries divergem, mas o produto delas também diverge, então a afirmação é falsa.

Passo 4

Vamos considerar um contra-exemplo:
  • Seja e .
  • A série é a série harmônica, que sabemos que diverge.
  • Agora, vamos calcular o produto dos termos: .
  • A série é uma série p, com , que sabemos que converge.

Passo 5

Embora este contra-exemplo mostre uma situação onde duas séries divergem e o produto delas converge, isso não prova que a afirmação seja verdadeira. Na verdade, isso indica que a afirmação não é necessariamente verdadeira em todos os casos. Além disso, se escolhermos , ambas as séries divergem, e o produto também gera uma série divergente.

Passo 6

Portanto, a afirmação de que se duas séries divergem, o produto delas sempre converge, não é verdadeira em geral.

Resposta

Falsa.

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(d) .
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