Classifique as afirmações abaixo como verdadeira
ou falsa
dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
(d) ( ) Se
e
divergem, então
converge;
(d) ( ) Se
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas séries infinitas,
e
, que ambas divergem. A afirmação sugere que, se essas duas séries divergem, então a série do produto
necessariamente converge. Nosso objetivo é verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série divergir ou convergir. Uma série converge se a soma dos seus termos tende a um valor finito quando somamos infinitos termos. Caso contrário, ela diverge.
Passo 3
Para analisar a afirmação, precisamos verificar se sempre que duas séries divergem, o produto de seus termos resulta em uma série que converge. Se conseguirmos encontrar um exemplo onde duas séries divergem, mas o produto delas também diverge, então a afirmação é falsa.
Passo 4
Vamos considerar um contra-exemplo:
- Seja
e . - A série
é a série harmônica, que sabemos que diverge. - Agora, vamos calcular o produto dos termos:
. - A série
é uma série p, com , que sabemos que converge.
Passo 5
Embora este contra-exemplo mostre uma situação onde duas séries divergem e o produto delas converge, isso não prova que a afirmação seja verdadeira. Na verdade, isso indica que a afirmação não é necessariamente verdadeira em todos os casos. Além disso, se escolhermos
, ambas as séries
divergem, e o produto
também gera uma série divergente.
Passo 6
Portanto, a afirmação de que se duas séries divergem, o produto delas sempre converge, não é verdadeira em geral.
Resposta
Falsa.
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(d) .
(d)
Determine se
converge ou diverge.