Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por e . Nosso objetivo aqui é descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que é uma técnica para verificar a convergência de séries numéricas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, se a gente calcular o limite e:
Se , a série converge.
Se ou é infinito, a série diverge.
Se , o teste não dá resposta e precisamos tentar outro método.
Vamos aplicar isso na nossa série!
Passo 3
Vamos calcular o limite da razão :
Agora, analisamos o comportamento desse quociente quando tende ao infinito. Sabemos que o cosseno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja, . Assim, fica entre 1 e 3:
Portanto,
Quando vai para o infinito, tende a 0. Então,
Passo 4
Como o limite é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série converge.