a1=1 e an+1=2+cos nraizn an
Determine se sumn=1^infty an converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por e . Nosso objetivo aqui é descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que é uma técnica para verificar a convergência de séries numéricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, se a gente calcular o limite e:
  • Se , a série converge.
  • Se ou é infinito, a série diverge.
  • Se , o teste não dá resposta e precisamos tentar outro método.
Vamos aplicar isso na nossa série!

Passo 3

Vamos calcular o limite da razão an+1an = 2 + cos nraizn cdot anan = 2 + cos nraizn :
1 <= 2 + cos n <= 3
Agora, analisamos o comportamento desse quociente quando 2 + cos nraizn <= 3raizn tende ao infinito. Sabemos que o cosseno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja, limn to infty 2 + cos nraizn = 0 . Assim, fica entre 1 e 3:
Portanto,
Quando vai para o infinito, tende a 0. Então,

Passo 4

Como o limite é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge.

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