Explique por que o Teste da Integral não pode ser usado para determinar se as séries abaixo é convergente ou não.
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente explicar por que o Teste da Integral não pode ser usado para determinar se a série
converge ou não. Então, o assunto aqui é convergência de séries e a ferramenta que a gente vai analisar é o Teste da Integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Integral. Esse teste é uma ferramenta que ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge, usando uma integral correspondente. Basicamente, se a função associada aos termos da série for positiva, contínua e decrescente, a gente pode comparar a série com uma integral para tirar conclusões sobre a sua convergência.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a série em questão:
. Simplificando os termos, temos:
Então, a série pode ser reescrita como:
Passo 4
Para aplicar o Teste da Integral, precisamos que a função
seja positiva, contínua e decrescente para todo
(algum número natural
).
Vamos verificar essas condições:
- Positiva: Para todo
, . Isso está ok. - Contínua: A função
é contínua para . - Decrescente: Agora vem o problema. Vamos analisar se a função é decrescente.
Passo 5
Para verificar se a função
é decrescente, vamos calcular a sua derivada:
Analisando a derivada:
- Para
, , o que significa que a função está crescente. - Para
, .
Portanto, a função
não é decrescente para
.
Passo 6
Como o Teste da Integral requer que a função seja decrescente além de positiva e contínua, e no nosso caso a função
não é decrescente, o Teste da Integral não pode ser aplicado para determinar a convergência dessa série.
Resposta
O Teste da Integral não pode ser utilizado para a série
porque a função
não é decrescente, uma das condições necessárias para aplicar esse teste.
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Classifique as afirmações abaixo como verdadeira
ou falsa
dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
(d) ( ) Se e
divergem, então
converge;
(d) ( ) Se
(1) O histograma é um gráfico de visualização para tabelas de variáveis quantitativas.
Determine se
converge ou diverge.
Encontre a derivada. Simplifique quando possível.
30.
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