Explique por que o Teste da Integral não pode ser usado para determinar se as séries abaixo é convergente ou não.
(d) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente explicar por que o Teste da Integral não pode ser usado para determinar se a série converge ou não. Então, o assunto aqui é convergência de séries e a ferramenta que a gente vai analisar é o Teste da Integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Integral. Esse teste é uma ferramenta que ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge, usando uma integral correspondente. Basicamente, se a função associada aos termos da série for positiva, contínua e decrescente, a gente pode comparar a série com uma integral para tirar conclusões sobre a sua convergência.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a série em questão: . Simplificando os termos, temos:
Então, a série pode ser reescrita como:

Passo 4

Para aplicar o Teste da Integral, precisamos que a função seja positiva, contínua e decrescente para todo (algum número natural ).
Vamos verificar essas condições:
  1. Positiva: Para todo , . Isso está ok.
  2. Contínua: A função é contínua para .
  3. Decrescente: Agora vem o problema. Vamos analisar se a função é decrescente.

Passo 5

Para verificar se a função é decrescente, vamos calcular a sua derivada:
Analisando a derivada:
  • Para , , o que significa que a função está crescente.
  • Para , .
Portanto, a função não é decrescente para .

Passo 6

Como o Teste da Integral requer que a função seja decrescente além de positiva e contínua, e no nosso caso a função não é decrescente, o Teste da Integral não pode ser aplicado para determinar a convergência dessa série.

Resposta

O Teste da Integral não pode ser utilizado para a série porque a função não é decrescente, uma das condições necessárias para aplicar esse teste.

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Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ou falsa dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
(d) ( ) Se e divergem, então converge;
(1) O histograma é um gráfico de visualização para tabelas de variáveis quantitativas.
Determine se converge ou diverge.
Encontre a derivada. Simplifique quando possível.
30.