Classifique as afirmações a seguir em verdadeiras ou falsas, dando contra-exemplo para as falsas. Existem funções
e
que não são contínuas em
, mas que
é contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se é verdadeiro ou falso que existem funções
e
que não são contínuas em um ponto
, mas a soma delas
é contínua em
. A gente vai usar conceitos de continuidade de funções e propriedades das somas de funções para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se:
Isso quer dizer que, quando
se aproxima de
, o valor de
se aproxima do valor de
.
Passo 3
Agora, vamos pensar na soma de duas funções. Se tivermos
, a dica é que mesmo que
e
tenham comportamentos estranhos em
, a soma pode se “equilibrar” e ser contínua. Vamos tentar encontrar um exemplo para ilustrar isso.
Passo 4
Vamos escolher
para facilitar. Definimos as funções da seguinte maneira:
Aqui, tanto
quanto
não são contínuas em
porque:
Passo 5
Agora, vamos somar
e
:
Para
:
Para
:
Então, a função
fica:
Essa função é uma constante igual a zero, que é claramente contínua em todo ponto, inclusive em
.
Resposta
Verdadeiro. Por exemplo, definindo
e
as funções
e
não são contínuas em
, mas
é contínua em
.
Exercícios relacionados
Calcule
pela definição, isto é, usando limite, sendo dados.
e
Em cada caso, achar os pontos onde a tangente ao gráfico da função
é paralela à reta dada:
Calcule
nos casos abaixo.