Classifique as afirmações a seguir em verdadeiras ou falsas, dando contra-exemplo para as falsas. Existem funções f e g que não são contínuas em p, mas que f + g é contínua em p.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se é verdadeiro ou falso que existem funções e que não são contínuas em um ponto , mas a soma delas é contínua em . A gente vai usar conceitos de continuidade de funções e propriedades das somas de funções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se:
Isso quer dizer que, quando se aproxima de , o valor de se aproxima do valor de .

Passo 3

Agora, vamos pensar na soma de duas funções. Se tivermos , a dica é que mesmo que e tenham comportamentos estranhos em , a soma pode se “equilibrar” e ser contínua. Vamos tentar encontrar um exemplo para ilustrar isso.

Passo 4

Vamos escolher para facilitar. Definimos as funções da seguinte maneira:
Aqui, tanto quanto não são contínuas em porque:

Passo 5

Agora, vamos somar e :
Para :
Para :
Então, a função fica:
Essa função é uma constante igual a zero, que é claramente contínua em todo ponto, inclusive em .

Resposta

Verdadeiro. Por exemplo, definindo
e
as funções e não são contínuas em , mas é contínua em .

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