integral cos (2 x+1) d x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de cos(2x + 1) em relação a x. Esse tipo de problema pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente lidando com integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos utilizar a técnica de integração conhecida como substituição, que nos ajuda a simplificar expressões complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que integrar uma função significa encontrar outra função cuja derivada é a função que estamos integrando. No caso, queremos achar uma função F(x) tal que F'(x) = cos(2x + 1).

Passo 3

Vamos usar a técnica de substituição para facilitar a integração. Vamos definir uma nova variável u como sendo o argumento da função cosseno:
u = 2x + 1
Isso nos ajuda a simplificar a expressão dentro da função trigonométrica.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx na integral. Derivando ambos os lados:
dudx = 2 implies du = 2,dx implies dx = du2

Passo 5

Substituindo u e dx na integral original, temos:
integral cos(2x + 1),dx = integral cos(u) cdot du2 = 12 integral cos(u),du

Passo 6

Agora, integramos cos(u) em relação a u. Sabemos que a integral de cos(u) é sin(u). Portanto:
12 integral cos(u),du = 12 sin(u) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, substituímos u de volta para expressar a resposta em termos de x:
12 sin(u) + C = 12 sin(2x + 1) + C

Resposta

A integral de cos(2x + 1),dx é igual a:
12 sin(2x + 1) + C
Onde C é a constante de integração.

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