Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de
em relação a
. Esse tipo de problema pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente lidando com integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos utilizar a técnica de integração conhecida como substituição, que nos ajuda a simplificar expressões complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que integrar uma função significa encontrar outra função cuja derivada é a função que estamos integrando. No caso, queremos achar uma função
tal que
.
Passo 3
Vamos usar a técnica de substituição para facilitar a integração. Vamos definir uma nova variável
como sendo o argumento da função cosseno:
Isso nos ajuda a simplificar a expressão dentro da função trigonométrica.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
na integral. Derivando ambos os lados:
Passo 5
Substituindo
e
na integral original, temos:
Passo 6
Agora, integramos
em relação a
. Sabemos que a integral de
é
. Portanto:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Por fim, substituímos
de volta para expressar a resposta em termos de
:
Resposta
A integral de
é igual a:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule
pela definição, isto é, usando limite, sendo dados.
e
Classifique as afirmações a seguir em verdadeiras ou falsas, dando contra-exemplo para as falsas. Existem funções
e
que não são contínuas em
, mas que
é contínua em
.
Em cada caso, achar os pontos onde a tangente ao gráfico da função
é paralela à reta dada: