Classifique cada sequência com termo geral dado por
abaixo em crescente ou decrescente (ou nenhum dos dois), limitada inferiormente, limitada superiormente, limitada (ou nenhum dos casos).
R.: limitada inferiormente mas não superiormente, crescente
Passo 1
Vamos analisar a sequência definida por
. Nosso objetivo é determinar se essa sequência é crescente ou decrescente, se é limitada inferiormente ou superiormente, e se é limitada. Para isso, vamos utilizar conceitos de crescimento de funções e propriedades das sequências fatoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a sequência é crescente. Uma sequência é crescente se cada termo é maior que o anterior, ou seja,
para todo
.
Calculando
:
Comparando com
:
Como a razão
é maior que 1 para todo
, a sequência é crescente.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a sequência é limitada inferiormente ou superiormente.
Primeiro, notamos que o fatorial é sempre positivo, então
para todo
. Portanto, a sequência é limitada inferiormente por 0.
Para verificar se é limitada superiormente, observamos que, conforme
aumenta, o numerador
cresce muito mais rápido que o denominador
. Isso significa que
tende para infinito quando
tende para infinito, ou seja, não há um limite superior para a sequência.
Passo 4
Com base nas análises anteriores, concluímos que a sequência é crescente e limitada inferiormente, mas não é limitada superiormente.
Resposta
A sequência é crescente, limitada inferiormente e não limitada superiormente.
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Dê um exemplo de uma sequência limitada, não-monótona, que possui uma subsequência crescente.
Calcule a área da parte do parabolóide hiperbólico
que se encontra dentro do cilindro
fora do cilindro
.
Classifique cada sequência com termo geral dado por
abaixo em crescente ou decrescente (ou nenhum dos dois), limitada inferiormente, limitada superiormente, limitada (ou nenhum dos casos).
R.: limitada e crescente
Obtenha
sabendo que