Dê um exemplo de uma sequência limitada, não-monótona, que possui uma subsequência crescente.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos dar um exemplo de uma sequência de números que seja limitada (ou seja, os valores não vão para infinito nem para menos infinito), que não seja monótona (não está sempre aumentando ou sempre diminuindo) e que possua uma subsequência crescente (uma parte da sequência onde os números vão aumentando). Para resolver isso, vamos precisar conhecer esses conceitos básicos de sequências numéricas.
Passo 2
Primeiro, vamos construir uma sequência que não seja monótona. Uma maneira simples de fazer isso é alternar os valores de forma que a sequência suba e desça. Por exemplo:
Isso dá a sequência: 1, 0, 3, 0, 5, 0, 7, 0, …
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa sequência é limitada. Observando os valores, vemos que os números ímpares continuam aumentando sem limite, então inicialmente a sequência não é limitada. Para corrigir isso, vamos ajustar a sequência para que os valores não cresçam indefinidamente. Uma forma é definir:
Agora, a sequência fica: 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, …, o que está limitada entre 0 e 1.
Passo 4
Verificamos que a sequência não é monótona porque alterna entre 1 e 0, ou seja, não está sempre aumentando nem sempre diminuindo.
Passo 5
Por fim, precisamos encontrar uma subsequência crescente dentro dessa sequência. Observando, podemos selecionar todos os termos iguais a 0 ou iguais a 1. Por exemplo, escolhendo os termos iguais a 1, temos:
A subsequência resultante é: 1, 1, 1, 1, …, que é constante e, portanto, considerada uma subsequência não decrescente (pode ser vista como uma sequência crescente onde não há redução de valores).
Resposta
Um exemplo é a sequência
, que é limitada, não monótona e possui uma subsequência crescente.
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Calcule a área da parte do parabolóide hiperbólico
que se encontra dentro do cilindro
fora do cilindro
.
Considere a sequência
.
Exiba duas subsequências limitadas e duas não limitadas.
Exiba duas subsequências limitadas e duas não limitadas.
Classifique cada sequência com termo geral dado por
abaixo em crescente ou decrescente (ou nenhum dos dois), limitada inferiormente, limitada superiormente, limitada (ou nenhum dos casos).
R.: limitada inferiormente mas não superiormente, crescente
Classifique cada sequência com termo geral dado por
abaixo em crescente ou decrescente (ou nenhum dos dois), limitada inferiormente, limitada superiormente, limitada (ou nenhum dos casos).
R.: limitada e crescente