Calcule a área da parte do parabolóide hiperbólico z = x y que se encontra dentro do cilindro x^2 + y^2 <= 4 e fora do cilindro x^2 + y^2 <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de uma parte do parabolóide hiperbólico dado por que está dentro do cilindro e fora do cilindro . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especialmente integração dupla e coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a área de uma superfície . A fórmula para a área é:
Onde é a região sobre a qual estamos integrando.

Passo 3

No nosso caso, , então precisamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula da área:

Passo 4

A região é a área entre os dois cilindros e . Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde e . Nessas coordenadas, .

Passo 5

Expressando a função e os limites em coordenadas polares:
Aqui, varia de 1 a 2 (entre os cilindros) e varia de 0 a .

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Fazendo a substituição , então ou . A integral fica:

Passo 7

Integrando :
Simplificando:

Passo 8

Agora, voltamos à integral completa:
Simplificando ainda mais:

Resposta

A área da parte do parabolóide hiperbólico que está dentro do cilindro e fora do cilindro é:

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