Calcule a área da parte do parabolóide hiperbólico que se encontra dentro do cilindro fora do cilindro .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de uma parte do parabolóide hiperbólico dado por que está dentro do cilindro e fora do cilindro . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especialmente integração dupla e coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a área de uma superfície . A fórmula para a área é:
Onde é a região sobre a qual estamos integrando.
Passo 3
No nosso caso, , então precisamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula da área:
Passo 4
A região é a área entre os dois cilindros e . Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde e . Nessas coordenadas, .
Passo 5
Expressando a função e os limites em coordenadas polares:
Aqui, varia de 1 a 2 (entre os cilindros) e varia de 0 a .
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Fazendo a substituição , então ou . A integral fica:
Passo 7
Integrando :
Simplificando:
Passo 8
Agora, voltamos à integral completa:
Simplificando ainda mais:
Resposta
A área da parte do parabolóide hiperbólico que está dentro do cilindro e fora do cilindro é: