Defina o conceito de projeção ortogonal de um vetor sobre outro. A seguir, determine qual múltiplo de x=(1,1,1,1) é mais próximo de y=(2,4,4,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente definir o que é a projeção ortogonal de um vetor sobre outro, que faz parte do estudo de álgebra linear. Depois, temos que descobrir qual múltiplo do vetor x = (1,1,1,1) fica mais perto do vetor y = (2,4,4,0). Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular uma projeção de vetor usando o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a projeção ortogonal. Imagine que você tem dois vetores no espaço: y e x. A projeção ortogonal de y sobre x é o vetor na direção de x que está mais “perto” de y. Matemática, isso significa que a diferença entre y e sua projeção é perpendicular a x.

Passo 3

Para encontrar essa projeção, usamos a fórmula da projeção de y sobre x, que é dada por:
projx y = ( y cdot xx cdot x ) x
Aqui, “ cdot” representa o produto escalar entre dois vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar y cdot x:
y cdot x = (2)(1) + (4)(1) + (4)(1) + (0)(1) = 2 + 4 + 4 + 0 = 10

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar x cdot x:
x cdot x = (1)(1) + (1)(1) + (1)(1) + (1)(1) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4

Passo 6

Com esses valores, podemos encontrar o múltiplo de x que é a projeção de y sobre x:
projx y = ( 104 ) x = 52 x

Passo 7

Então, o múltiplo de x que está mais próximo de y é 52 x. Calculando isso:
52 x = ( 52, 52, 52, 52 )

Resposta

O múltiplo de x = (1,1,1,1) que está mais próximo de y = (2,4,4,0) é ( 52, 52, 52, 52 ).

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