Defina o conceito de projeção ortogonal de um vetor sobre outro. A seguir, determine qual múltiplo de
é mais próximo de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente definir o que é a projeção ortogonal de um vetor sobre outro, que faz parte do estudo de álgebra linear. Depois, temos que descobrir qual múltiplo do vetor
fica mais perto do vetor
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular uma projeção de vetor usando o produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a projeção ortogonal. Imagine que você tem dois vetores no espaço:
e
. A projeção ortogonal de
sobre
é o vetor na direção de
que está mais “perto” de
. Matemática, isso significa que a diferença entre
e sua projeção é perpendicular a
.
Passo 3
Para encontrar essa projeção, usamos a fórmula da projeção de
sobre
, que é dada por:
Aqui, “
” representa o produto escalar entre dois vetores.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 6
Com esses valores, podemos encontrar o múltiplo de
que é a projeção de
sobre
:
Passo 7
Então, o múltiplo de
que está mais próximo de
é
. Calculando isso:
Resposta
O múltiplo de
que está mais próximo de
é
.