Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D. em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente classificar o conjunto no espaço como linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). A matéria envolvida aqui é a álgebra linear, especificamente o conceito de independência linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar se um conjunto de vetores (ou, nesse caso, polinômios) é LI ou LD.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é LI se nenhuma combinação linear deles dá o vetor zero, a menos que todos os coeficientes da combinação sejam zero. Se existir uma combinação não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulta no vetor zero, o conjunto é linearmente dependente.
Passo 3
Como estamos trabalhando com polinômios no espaço , cada polinômio pode ser representado por um vetor com seus coeficientes. Vamos reescrever cada polinômio de como um vetor de coeficientes:
Passo 4
Agora, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
A = 1 & 2 & 1 & -2 3 & -1 & 2 & 1 1 & -1 & -3 & 3
Queremos verificar se essa matriz tem rank menor que o número de vetores (que é 4). Mas como o espaço tem dimensão 3, já sabemos que qualquer conjunto com mais de 3 vetores será dependente. No entanto, para entender melhor, vamos resolver o sistema de equações para ver se existe uma combinação não trivial que resulta no vetor zero.
Passo 5
Vamos considerar uma combinação linear dos vetores que resulta no vetor zero:
Vimos que existe uma solução não trivial para o sistema (ou seja, quando a = 65d, b = 2325d, c = 1425d não é zero). Portanto, os coeficientes podem assumir valores diferentes de zero que satisfazem a combinação linear igual a zero:
Isso significa que o conjunto é linearmente dependente, já que conseguimos uma combinação não trivial que resulta no vetor zero.