Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D. F=1+3 x+x^2, 2-x-x^2, 1+2 x-3 x^2,-2+x+3 x^2 em P2(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente classificar o conjunto no espaço como linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). A matéria envolvida aqui é a álgebra linear, especificamente o conceito de independência linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar se um conjunto de vetores (ou, nesse caso, polinômios) é LI ou LD.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é LI se nenhuma combinação linear deles dá o vetor zero, a menos que todos os coeficientes da combinação sejam zero. Se existir uma combinação não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulta no vetor zero, o conjunto é linearmente dependente.

Passo 3

Como estamos trabalhando com polinômios no espaço 1 + 3x + x^2 & 1 3 1 2 - x - x^2 & 2 -1 -1 1 + 2x - 3x^2 & 1 2 -3 -2 + x + 3x^2 & -2 1 3 , cada polinômio pode ser representado por um vetor com seus coeficientes. Vamos reescrever cada polinômio de como um vetor de coeficientes:

Passo 4

Agora, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
A = 1 & 2 & 1 & -2 3 & -1 & 2 & 1 1 & -1 & -3 & 3
Queremos verificar se essa matriz tem rank menor que o número de vetores (que é 4). Mas como o espaço tem dimensão 3, já sabemos que qualquer conjunto com mais de 3 vetores será dependente. No entanto, para entender melhor, vamos resolver o sistema de equações para ver se existe uma combinação não trivial que resulta no vetor zero.

Passo 5

Vamos considerar uma combinação linear dos vetores que resulta no vetor zero:
a(1 + 3x + x^2) + b(2 - x - x^2) + c(1 + 2x - 3x^2) + d(-2 + x + 3x^2) = 0
Isso nos dá o seguinte sistema de equações baseado nos coeficientes de a + 2b + c - 2d = 0 3a - b + 2c + d = 0 a - b - 3c + 3d = 0 , e :

Passo 6

Vamos resolver esse sistema. Podemos montar a matriz aumentada:
1 & 2 & 1 & -2 & | & 0 3 & -1 & 2 & 1 & | & 0 1 & -1 & -3 & 3 & | & 0
Aplicando operações de linha para simplificar:
  1. Subtrair 3 vezes a primeira linha da segunda linha:
1 & 2 & 1 & -2 & | & 0 0 & -7 & -1 & 7 & | & 0 1 & -1 & -3 & 3 & | & 0
  1. Subtrair a primeira linha da terceira linha:
1 & 2 & 1 & -2 & | & 0 0 & -7 & -1 & 7 & | & 0 0 & -3 & -4 & 5 & | & 0
  1. Multiplicar a segunda linha por 1 & 2 & 1 & -2 & | & 0 0 & 1 & 17 & -1 & | & 0 0 & -3 & -4 & 5 & | & 0 :
1 & 2 & 1 & -2 & | & 0 0 & 1 & 17 & -1 & | & 0 0 & 0 & -257 & 2 & | & 0
  1. Adicionar 3 vezes a segunda linha à terceira linha:
1 & 2 & 1 & -2 & | & 0 0 & 1 & 17 & -1 & | & 0 0 & 0 & 1 & -1425 & | & 0
  1. Multiplicar a terceira linha por :
  1. Substituir as variáveis de trás para frente:
  • Da terceira linha:
  • Da segunda linha:
  • Da primeira linha:

Passo 7

Vimos que existe uma solução não trivial para o sistema (ou seja, quando a = 65d, b = 2325d, c = 1425d não é zero). Portanto, os coeficientes podem assumir valores diferentes de zero que satisfazem a combinação linear igual a zero:
Isso significa que o conjunto é linearmente dependente, já que conseguimos uma combinação não trivial que resulta no vetor zero.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente em .

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