Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente classificar o conjunto
como Linearmente Independente (L.I.) ou Linearmente Dependente (L.D.) no espaço das funções reais
. Isso significa que precisamos verificar se existe uma combinação linear dessas funções que resulte na função zero, sem que todos os coeficientes sejam zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de funções
é linearmente independente se a única solução para a equação
é
. Se existir pelo menos uma combinação linear não trivial que dê zero, então o conjunto é linearmente dependente.
Passo 3
Vamos aplicar isso ao nosso conjunto
. Queremos encontrar constantes
(não todas zero) que satisfaçam:
A gente precisa ver se essa equação pode ser verdadeira sem que
sejam todos zero.
Passo 4
Vamos analisar essa equação para valores específicos de
para facilitar. Por exemplo, vamos escolher
:
Então, descobrimos que
.
Passo 5
Agora, substituindo
na equação original:
Vamos escolher outro valor de
, por exemplo,
:
Então,
.
Passo 6
Com
e
, a equação fica:
A única maneira disso ser verdade para todo
é
.
Passo 7
Chegamos que
,
e
são as únicas soluções. Isso significa que a única combinação linear que resulta na função zero é a trivial, onde todos os coeficientes são zero.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente em
.
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Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
em
.
Considere os vetores
e
. Se
, determine uma base de
dentre os vetores dados.
Mostre que o conjunto
é uma base para o espaço
. Em seguida, escreva o polinômio
como combinação linear desses elementos.
Considere
e
. Encontre uma base de
que contenha uma base de
e também uma base de
.