Considere os vetores e . Se , determine uma base de dentre os vetores dados.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos cinco vetores no espaço e queremos encontrar uma base para o espaço que é gerado por esses vetores. Isso envolve conceitos de álgebra linear, como espaços vetoriais e independência linear. Para resolver, vamos identificar quais desses vetores são linearmente independentes e usar esses vetores como base de .
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os vetores como colunas de uma matriz. Isso facilita a análise de independência linear. Então, formamos a matriz :
Passo 3
O próximo passo é realizar a eliminação de Gauss para transformar a matriz A em uma forma escalonada. Isso nos ajudará a identificar quais colunas contêm os pivôs, ou seja, os elementos que indicam a presença de vetores linearmente independentes.
Passo 4
Vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro pivô (1 na posição (1,1)):
Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
R2 = R2 - 2R1 Rightarrow (0, 1, 2, 1, 3)
Subtrair a primeira linha da terceira linha:
R3 = R3 - R1 Rightarrow (0, 2, 4, 5, 8)
Subtrair 3 vezes a primeira linha da quarta linha:
R4 = R4 - 3R1 Rightarrow (0, 2, 4, 6, 10)
Subtrair 2 vezes a primeira linha da quinta linha:
Seguindo, vamos para a terceira coluna. Observamos que todos os elementos na terceira coluna abaixo do pivô são zero, então passamos para a quarta coluna. O próximo pivô é 3 na posição (3,4). Vamos escalonar essa coluna:
Dividir a terceira linha por 3 para tornar o pivô igual a 1:
R3 = 13R3 Rightarrow (0, 0, 0, 1, 23)
Subtrair 4 vezes a terceira linha da quarta linha:
R4 = R4 - 4R3 Rightarrow (0, 0, 0, 0, 43)
Subtrair 4 vezes a terceira linha da quinta linha:
Agora, identificamos os pivôs nas colunas 1, 2, 4 e 5. Isso significa que os vetores correspondentes às colunas 1, 2, 4 e 5 são linearmente independentes e formam uma base para W.
Resposta
Uma base de W é formada pelos vetores u1, u2, u4 e u5.