Considere os vetores u1=(1,2,1,3,2), u2=(1,3,3,5,3), u3=(3,8,7,13,8), u4=(1,4,6,9,7) e u5=(5,13,13,25,19). Se W=>=r(u1, u2, u3, u4, u5), determine uma base de W dentre os vetores dados.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos cinco vetores no espaço R^5 e queremos encontrar uma base para o espaço W que é gerado por esses vetores. Isso envolve conceitos de álgebra linear, como espaços vetoriais e independência linear. Para resolver, vamos identificar quais desses vetores são linearmente independentes e usar esses vetores como base de W.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores como colunas de uma matriz. Isso facilita a análise de independência linear. Então, formamos a matriz A:
A = 1 & 1 & 3 & 1 & 5 2 & 3 & 8 & 4 & 13 1 & 3 & 7 & 6 & 13 3 & 5 & 13 & 9 & 25 2 & 3 & 8 & 7 & 19

Passo 3

O próximo passo é realizar a eliminação de Gauss para transformar a matriz A em uma forma escalonada. Isso nos ajudará a identificar quais colunas contêm os pivôs, ou seja, os elementos que indicam a presença de vetores linearmente independentes.

Passo 4

Vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro pivô (1 na posição (1,1)):
  1. Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
R2 = R2 - 2R1 Rightarrow (0, 1, 2, 1, 3)
  1. Subtrair a primeira linha da terceira linha:
R3 = R3 - R1 Rightarrow (0, 2, 4, 5, 8)
  1. Subtrair 3 vezes a primeira linha da quarta linha:
R4 = R4 - 3R1 Rightarrow (0, 2, 4, 6, 10)
  1. Subtrair 2 vezes a primeira linha da quinta linha:
R5 = R5 - 2R1 Rightarrow (0, 1, 2, 5, 9)
A matriz agora fica:
A = 1 & 1 & 3 & 1 & 5 0 & 1 & 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 & 5 & 8 0 & 2 & 4 & 6 & 10 0 & 1 & 2 & 5 & 9

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna e encontrar o próximo pivô, que já é 1 na posição (2,2). Vamos eliminar os elementos abaixo desse pivô:
  1. Subtrair 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
R3 = R3 - 2R2 Rightarrow (0, 0, 0, 3, 2)
  1. Subtrair 2 vezes a segunda linha da quarta linha:
R4 = R4 - 2R2 Rightarrow (0, 0, 0, 4, 4)
  1. Subtrair a segunda linha da quinta linha:
R5 = R5 - R2 Rightarrow (0, 0, 0, 4, 6)
A matriz fica:
A = 1 & 1 & 3 & 1 & 5 0 & 1 & 2 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 3 & 2 0 & 0 & 0 & 4 & 4 0 & 0 & 0 & 4 & 6

Passo 6

Seguindo, vamos para a terceira coluna. Observamos que todos os elementos na terceira coluna abaixo do pivô são zero, então passamos para a quarta coluna. O próximo pivô é 3 na posição (3,4). Vamos escalonar essa coluna:
  1. Dividir a terceira linha por 3 para tornar o pivô igual a 1:
R3 = 13R3 Rightarrow (0, 0, 0, 1, 23)
  1. Subtrair 4 vezes a terceira linha da quarta linha:
R4 = R4 - 4R3 Rightarrow (0, 0, 0, 0, 43)
  1. Subtrair 4 vezes a terceira linha da quinta linha:
R5 = R5 - 4R3 Rightarrow (0, 0, 0, 0, 103)
A matriz agora é:
A = 1 & 1 & 3 & 1 & 5 0 & 1 & 2 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 1 & 23 0 & 0 & 0 & 0 & 43 0 & 0 & 0 & 0 & 103

Passo 7

Finalmente, vamos observar a quinta coluna. Vamos tornar o pivô igual a 1 dividindo a quarta linha por 43:
R4 = 34R4 Rightarrow (0, 0, 0, 0, 1)
E ajustar a quinta linha:
R5 = R5 - 103R4 Rightarrow (0, 0, 0, 0, 0)
A matriz final fica:
A = 1 & 1 & 3 & 1 & 5 0 & 1 & 2 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 1 & 23 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0

Passo 8

Agora, identificamos os pivôs nas colunas 1, 2, 4 e 5. Isso significa que os vetores correspondentes às colunas 1, 2, 4 e 5 são linearmente independentes e formam uma base para W.

Resposta

Uma base de W é formada pelos vetores u1, u2, u4 e u5.

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